22. Mostre que se 0 <= x <= 1 / 2 sen x = x - x^3 / 3! + R(x) onde |R(x)| < 1 / 3.840

Passo 1

Nesta questão, basta determinarmos qual é a série de MacLauren da função em questão com n = 4 e a = 0

Passo 2

Sendo assim, para a função dessa questão o polinômio de Maclaurin ficaria da seguinte forma:

P 4 x = f x + f ´ 0 1 ! . x - 0 + f ´ ´ 0 2 ! . x - 0 2 + f 3 0 3 !   . x - 0 3 + f 4 0 4 !   . x - 0 4

Agora nos resta calcular a primeira, segunda, terceira e a quarta derivada aplicada no número a = 0 .

Como f x = s e n   x , temos que :

f 0 = s e n ( 0 ) = 0

Passo 3

Calculando a primeira derivada e aplicando no número a   teremos:

f ´ x = c o s x

f ´ 0 = 1

Passo 4

Calculando a segunda derivada e aplicando no número a   teremos:

f ´ ´ x = - s e n x

f ´ ´ 0 = 0

Passo 5

Calculando a terceira derivada e aplicando no número a   teremos:

f 3 x = - c o s x

f 3 0 = - 1

Passo 6

Calculando a quarta derivada e aplicando no número a   teremos:

f 4 x = s e n x

f 4 0 = 0

Passo 7

Sendo assim, substituindo os valores encontrados na fórmula geral para o polinômio de Maclaurin desta questão , vem :

P 4 x = f x + f ´ 0 1 ! . x - 0 + f ´ ´ 0 2 ! . x - 0 2 + f 3 0 3 !   . x - 0 3 + f 4 0 4 !   . x - 0 4

P 4 x = 0 + x + 0 - x 3 3 ! + 0

P 4 x = x - x 3 3 ! + R ( x )

Resposta

Demonstração.

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