Enunciado

Mostre que o plano osculador em cada ponto da curva r t = t + 2,1 - t , 1 2 t ² é o mesmo plano. O que você pode concluir sobre a curva?

Passo 1

Para poder demonstrar que o plano osculador em cada ponto de r ( t ) é o mesmo plano, precisamos encontrar a equação deste plano.

Para isso vamos começar derivando r t = t + 2,1 - t , 1 2 t ²

r ' t = 1 , - 1 , t

Desta forma podemos encontrar

T t = r ' t r ' t = 1 , - 1 , t ∙ 1 2 + t ²

Derivando T t = 1 , - 1 , t ∙ 1 2 + t ²   :

T ' t = - 1 2 2 + t 2 - 3 2 2 t 1 , - 1 , t + 2 + t 2 - 1 2 0,0 , 1 = - 1 ( 2 + t 2 ) 3 / 2 t , - t , - 2

Um vetor normal ao plano osculador é v t = T t × N ( t ) , onde   T t é um vetor paralelo a r '   ( t ) e N t   é um vetor paralelo a T ' ( t ) .

Então temos T t = 1 , - 1 , t e N t = t , - t , - 2 .

Desta forma: é v t = 1 , - 1 , t × t , - t , - 2 = t 2 + 2 , t 2 + 2,0

Onde v t é paralelo ao vetor 1,1 , 0 .

Passo 2

Portanto a equação do plano osculador no ponto ( t + 2,1 - t , 1 2 t ² ) é:

1 x - t - 2 + 1 y - 1 + t + 0 z - 1 2 t ² = 0

x + y = 3

Portanto verificamos que o plano não depende de nenhum parâmetro t, logo todas as curvas de r t = t + 2,1 - t , 1 2 t ² corresponde ao mesmo plano.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine o comprimento da curva dada. r t = t 2 i + 2 t j + ln ⁡ t k ,1 ≤ t ≤ e
Utilize uma calculadora gráfica ou um computador para traçar na mesma tela a curva e sua função curvatura k ( x ) . Esse é o gráfico que você esperava? y = x 4
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T ( t ) e N ( t ) . (b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura. r t = 2 t ,e t , e - t
Encontre os vetores T , N e B no ponto indicado. r t = e t , e t sen ⁡ t , e t cos ⁡ t , ( 1,0 , 1 )
Em que pontos a curva r → t = t i → + 2 t - t 2 k → intercepta o parabolóide z = x 2 + y 2 ?