Enunciado

Em que pontos a curva vec r (t) = t vec i + (2 t - t^2) vec k intercepta o parabolóide z = x^2 + y^2 ?

Passo 1

Nesse exercício, temos que as equações paramétricas para a curva são:

x = t , y = 0 , z = 2 t - t^2

Iremos substituir esses valores na equação fornecida para o parabolóide, sendo assim, temos:

2 t - t^2 = t^2 -> 2 t^2 - 2 t = 0

Passo 2

Dividindo ambos os lados da equação encontrada no passo 1 por 2, temos:

t^2 - t = 0 -> t (t - 1) = 0

Logo, para a equação ser satisfeita, devemos ter t = 0 ou t = 1 .

Passo 3

Substituindo os valores de t encontrados no passo 2 na equação da curva, obteremos os pontos de interseção:

vec r (0) = 0

vec r (1) = (1) vec i + [2 (1) - 1^2] vec k -> vec r (1) = vec i + vec k

Sendo assim, os pontos de interseção são ( 0,0 , 0 ) e ( 1,0 , 1 ) .

Resposta

( 0,0 , 0 )

( 1,0 , 1 )

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