Enunciado

(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T ( t ) e N ( t ) .

(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.

r t = 2 t ,   e t , e - t

Passo 1

  1. Primeiro passo é derivar a função r t = 2 t ,   e t , e - t
  2. Note que derivamos termo a termo, assim:

    r ' t = 2 ,   e t , - e - t

    Passo 2

    Agora que temos a derivada, precisamos calcular:

    r '   t

    Isso implica que:

    r ' ( t ) = ( 2 ) 2 +   e t 2 + - e - t 2

    Isso nos da que:

    r ' ( t ) = 2 + e 2 t + e - 2 t

    ⇒ r ' ( t ) = e t + e - t 2 = e t + e - t

    r ' ( t ) = e t + e - t

    Passo 3

    Então,

    T t = r ' t r ' t = 1 e t + e - t 2 ,   e t , - e - t

    Multiplicando por e t e t :

    T t = r ' t r ' t 1 e 2 t + 1 2 e t ,   e 2 t , - 1

    Derivando T t temos que:

    T ' t = 1 e 2 t + 1 2 e t ,   2 e 2 t , 0 - 2 e 2 t e 2 t + 1 2 2 ,   e 2 t , - 1 = 1 e 2 t + 1 2 e 2 t + 1 2 e t ,   2 e 2 t , 0 - 2 e 2 t 2 e t ,   e 2 t , - 1 = 1 e 2 t + 1 2 2 e t ( 1 - e 2 t ,   2 e 2 t , 2 e 2 t

    E agora, que temos a derivda, fazemos:

    T ' t = 1 e 2 t + 1 2 2 e 2 t 1 - 2 e 2 t + e 4 t + 4 e 4 t + 4 e 4 t = 1 e 2 t + 1 2 2 e 2 t 1 + 2 e 2 t + e 4 t = 1 e 2 t + 1 2 2 e 2 t 1 + e 2 t 2 = 2 e t ( 1 + e 2 t ) e 2 t + 1 2 = 2 e t ( 1 + e 2 t )

    Passo 4

    E então, para calcularmos N ( t ) fazemos:

    N t = T ' t T ' t = e 2 t + 1 2 e t 1 e 2 t + 1 2 2 e t ( 1 - e 2 t ,   2 e 2 t , 2 e 2 t = 1 2 e t e 2 t + 1 2 e t ( 1 - e 2 t ) ,   2 e 2 t , 2 e 2 t = 1 e 2 t + 1   1 - e 2 t ,   2 e 2 t , 2 e 2 t

    Passo 5

  3. Agora, utilizado a formula:

N t = | T ' t | r ' t = 2 e t e 2 t + 1 ⋅ 1 e t + e - t = 2 e t e 3 t + 2 e t + e - t = 2 e 2 t e 4 t + 2 e 2 t + 1 = 2 e 2 t e 2 t + 1 2

Resposta

2 e 2 t e 2 t + 1 2

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