Enunciado

  1. Mostre que um polinômio de grau n tem no máximo n raízes reais.

Passo 1

Agora vamos pra a letra (b), na letra (a) mostramos que um polinômio de grau 3 deve ter no máximo 3 raizes reais e a ideia agora é generalizar! Vamos mostrar que um polinômio de grau n tem no máximo n raízes reais!

Para isso vamos pegar um polinômio P ( x ) de grau n + 1 e supor que ele tem mais que n + 1 raízes reais:

r 1 , r 2 , r 3 … r n + 1 ,   r n + 2 1

Assim:

P r 1 = P r 2 = P r 3 = P r n + 1 = P r n + 2 = 0

Vamos dizer que:

r 1 < r 2 < r 3 < … < r n + 1 < r n + 2

Passo 2

Se a nossa função é um polinômio ela irá obedecer o Teorema de Rolle, uma vez que ela será contínua e diferenciável, então existem n + 1 números c 1 , c 2 , c 3 ,   … , c n + 1 de modo que:

r 1 < c 1 < r 2

r 2 < c 2 < r 3

r 3 < c 3 < r 4

r n < c n < r n + 1

r n + 1 < c n + 1 < r n + 2

E:

P ' c 1 = P ' c 2 = P ' c 3 = P ' c n + 1 = P ' c n + 2 = 0

Sendo P ' a derivada de P , então ele deverá ser um polinômio de   n + 1   . Mas terminamos de dizer que P ' ( x ) tem n + 2 raizes, o que é impossível!

Então podemos concluir que um polinômio de grau n + 1   tem no máximo n + 1 raízes reais!

Resposta

Desenvolvimento acima.

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Use o método do exercício 33 e a indução matemática para provar que um polinômio de grau n tem no máximo n raízes reais.
Seja f : R → R uma função. Dizemos que x 0 é um ponto fixo de f se f x 0 = x 0 , com f x = x 2 - 3 x .Mostre que f terá ponto fixo se o gráfico de f interceptar a reta y = x .
O inverso do teorema de Rolle não é válido. Dê um exemplo de uma função para a qual a conclusão do teorema de Rolle é verdadeira e para a qual (a) a condição (i) não está satisfeita, mas as condições
Verifique que a função satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfazem à conclusão do Teorema de Rolle. f x = 5 - 12 x + 3 x 2 ,[ 1,
Use o gráfico de f para estimar os valores de c que satisfaçam à conclusão do Teorema do Valor Médio para o intervalo [0, 8].