Enunciado

Seja v 1   a velocidade da luz no ar e v 2   a velocidade da luz na água. De acordo com o Princípio de Fermat, um raio de luz viajará de um ponto A no ar para um ponto B na água por um caminho A C B que minimiza o tempo gasto. Mostre que

sen ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2   = v 1 v 2

Onde θ 1 (o ângulo de incidência) e θ 2   (o ângulo de refração) são conforme mostrados. Essa equação é conhecida como a Lei de Snell.

Passo 1

E aí, pessoal! 😁

Nesse problema temos que mostrar que

sen ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2   = v 1 v 2

Onde v 1   a velocidade da luz no ar e v 2   a velocidade da luz na água e de acordo com o Princípio de Fermat, um raio de luz viajará de um ponto A no ar para um ponto B na água por um caminho A C B que minimiza o tempo gasto.

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Para resolver o exercício vamos esboçar o seguinte desenho, dando nome aos lados que vão auxiliar nossa resolução:

Queremos minimizar o tempo em que um raio de luz leva pra cruzar as retas A B e C B , então primeiramente vamos aplicar Pitágoras nos dois triângulos retângulos formados nas figuras para acharmos essas medidas:

A C 2 = a 2 + x 2

A C = a 2 + x 2

C B 2 = d - x 2 + b 2

C B = d - x 2 + b 2

Veja só! 😉

Passo 2

A fórmula da velocidade é v = d i s t â n c i a t e m p o , então, para encontrarmos o tempo T , faremos: T = d i s t â n c i a v :

T = t e m p o   d e   A   a t é   C + t e m p o   d e   C   a t é   B

T = A C v 1   + C B v 2

T = a 2 + x 2 v 1   + d - x 2 + b 2 v 2 ,     0 ≤ x ≤ d

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Minimizando T :

T ' x = x v 1   a 2 + x 2 - d - x v 2 d - x 2 + b 2 = 0 = sen ⁡ θ 1 v 1   -   sen ⁡ θ 2 v 2  

sen ⁡ θ 1 v 1   =   sen ⁡ θ 2 v 2  

sen ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2 =   v 1 v 2  

Isso prova a Lei de Snell.

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😉

Resposta

sen ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2 =   v 1 v 2  

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