Enunciado

Mostre que qualquer campo vetorial da forma

F → x , y , z = f y , z i → + g x , z j → + h x , y k → é incompressível.

Passo 1

Olá, tudo bem? Lembram que a condição para um campo vetorial ser incompressível é que o divergente desse campo deve ser zero, certo?

Dessa forma:

∇ ⋅ F → = 0

Passo 2

Como recordar é viver, aqui vai como se calcula o rotacional de algum vetor. Fazemos o produto vetorial do operador nabla ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) com o vetor a , b , c que se quer:

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ⋅ ( a , b , c )

Lembrando que a derivada parcial é aquela que as outras variáveis contam como constante na hora da derivação!

Passo 3

Agora vamos aplicar o rotacional no campo dado:

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ⋅ f y , z , g x , z , h x , y

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x f y , z + ∂ ∂ y g x , z + ∂ ∂ z h x , y = 0

Como falei ali no passo 2 , a derivada parcial conta como constante qualquer outra variável que não seja àquela a quem ela se refere. Portanto, todas essas derivadas que aparecem são zero.

Assim, o divergente desse campo é zero:

∇ ⋅ F → = 0

E assim esse campo é incompressível.

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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A partir do gráfico de F você diria que o campo é conservativo? Explique.
Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) conexo e (c) simplesmente conexo. { ( x , y ) | x ≠ 0 }
Se F x , y = sen ⁡ y i + ( 1 + x cos ⁡ y ) j , use um gráfico para conjecturar se F é conservativo. Então, determine se sua conjectura estava correta.
Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) conexo e (c) simplesmente conexo. { ( x , y ) | x0 , y0 }
Seja F = ∇ f , onde f x , y = sen ⁡ ( x - 2 y ) . Determine curvas C 1 e C 2 que não sejam fechadas e satisfaçam a equação. ∫ C 1 F ⋅ d r = 0 (b) ∫ C 2 F ⋅ d r = 1