Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 22
Mostre que qualquer campo vetorial da forma
é incompressível.
Passo 1
Olá, tudo bem? Lembram que a condição para um campo vetorial ser incompressível é que o divergente desse campo deve ser zero, certo?
Dessa forma:
Passo 2
Como recordar é viver, aqui vai como se calcula o rotacional de algum vetor. Fazemos o produto vetorial do operador nabla com o vetor que se quer:
Lembrando que a derivada parcial é aquela que as outras variáveis contam como constante na hora da derivação!
Passo 3
Agora vamos aplicar o rotacional no campo dado:
Como falei ali no passo , a derivada parcial conta como constante qualquer outra variável que não seja àquela a quem ela se refere. Portanto, todas essas derivadas que aparecem são zero.
Assim, o divergente desse campo é zero:
E assim esse campo é incompressível.
Beleza?
Vamos pra próxima?
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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