Enunciado

Suponha que S e E satisfaçam as condições do Teorema do Divergente e que f seja uma função escalar com derivadas parciais contínuas. Demonstre que

∬ S f n   d S = ∭ E ∇ f   d V

Estas integrais de superfície e triplas de funções vetoriais são vetores definidos integrando cada função componente. [Sugestão: comece aplicando o Teorema do Divergente a F = f c , onde c é um vetor constante arbitrário.]

Passo 1

Temos pelo Teorema do Divergente:

∬ S F ∙ n   d S = ∭ E div ⁡ F d V

Vamos considerar que F = f c , com c sendo um vetor constante.

Agora usando o Teorema do Divergente, vamos substituir isso:

∬ S F ∙ n   d S = ∬ S f c ∙ n   d S = ∭ E div ⁡ f c d V

Vamos agora usar a seguinte propriedade:

∇ ∙ f F = f ∇ ∙ F + ∇ f ∙ F

E usando o Teorma do Divergente, ficamos com:

∬ S f c ∙ n   d S = ∭ E f ∇ ∙ c + ∇ f ∙ c   d V

Como c é um vetor constante, nós vamos ter:

∇ ∙ c = 0

Assim:

∬ S f c ∙ n   d S = ∭ E f ∇ ∙ c + ∇ f ∙ c   d V = ∭ E f ∙ 0 + ∇ f ∙ c   d V = ∭ E ∇ f ∙ c   d V

Reorganizando ficamos com:

∬ S f c ∙ n   d S - ∭ E ∇ f ∙ c   d V = 0 → ∬ S f n   d S - ∭ E ∇ f   d V ∙ c = 0

Como c é uma constante arbitrária, nós escolhemos um valor de tal forma que o produto não seja zero, assim:

∬ S f n   d S - ∭ E ∇ f   d V = 0 → ∬ S f n   d S = ∭ E ∇ f   d V

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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