Enunciado

Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) conexo e (c) simplesmente conexo.

{ ( x , y ) | x ≠ 0 }

Passo 1

  1. Ele é aberto? De forma prática, podemos dizer que para ser aberto o conjunto não pode conter os valores de fronteira, nesse conjunto não temos uma fronteira propriamente dita, temos mais algo como uma barreira que “separa” o conjunto em dois.
  2. Como o conjunto não tem uma fronteira com pontos que perteçam ao conjunto, o conjunto é aberto.

    Passo 2

  3. Para ser conexo, precisamos de um caminho qualquer que ligue dois pontos genéricos, de forma que esse caminho esteja todo contido no conjunto. Mas o que bulhufas isso quer dizer? Basicamente o conjunto não pode estar dividido em pedaços desconectados.
  4. Como concluímos na analise da restrição no item (a), a restrição basicamente divide o conjunto em dois blocos, então ele não é conexo.

    Passo 3

  5. Para ser simplesmente conexo ele precisa primeiramente ser conexo, e como ele não é, também não é simplesmente conexo.

Resposta

  1. Sim
  2. Não
  3. Não
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