Mostre que com qualquer n inteiro positivo

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x x n = 0

Passo 1

Observe que inicialmente, quando x tende a infinito, temos um limite do tipo ∞ ∞ .   Se aplicarmos l’hopital n vezes, chegaremos a um ponto onde o polinômio no denominador viraris um número, enquanto a derivada do ln só subiria o valor do expoente. Veja o exemplo, suponde que o n valha 3.

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x x 3

Vamos então aplicar L' hopital :

lim x → ∞ ⁡ 1 x 3 x 2

Aplicando mais uma vez:

lim x → ∞ ⁡ - 1 x 2 6 x

Por último:

lim x → ∞ ⁡ 2 x 3 6  

Observa como chega em um momento onde o denominador se torna uma contante, enquanto o expoente no numerador só cresce... isso faz com que tenhamos uma fração em cima, que tende para zero, dividido por uma contante n denominador. Logo, como resultado, teremos sempre 0, independente do valor de n .

Passo 2

Outra forma de perceber isso seria pela velocidade de crescimento das funções. O menor valor possível para n seria 1. Ao observarmos as funções f x = x e f x = ln ⁡ x podemos observar que a função f x = x cresce muito mais rápido do que o ln ⁡ x , logo se aproxima primeiro de infinito, logo teríamos uma contante dividido por infinito que nos dá:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x x n = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados