Enunciado

Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 1 ⁡ x x - 1 - 1 ln ⁡ x

Passo 1

A questão pede para calcularmos o limite usando, se for possível, a regra de L’Hospital. Vale lembrar que só podemos usar essa regra se o limite for indeterminado do tipo 0/0 ou / .

Uma dica importante que eu dou: só use a regra de L’Hospital se ela realmente simplificar o seu problema, ela é uma regra fantástica que faz você se apaixonar, mas se viciar nela é um problema!

Passo 2

Quando x → 1 , x x - 1 → ± ∞ e 1 ln ⁡ x → ± ∞ , assim temos uma identerminação do tipo ∞ - ∞ . Não podemos aplicar a regra de L’Hospital para esse caso, então devemos trabalhar para mudar o tipo da indeterminação.

Fazendo o mmc entre x - 1 e ln ⁡ x , podemos reescrever o limite como

lim x → 1 ⁡ x ln ⁡ x - x - 1 x - 1 ln ⁡ x = lim x → 1 ⁡ x ln ⁡ x - x + 1 x - 1 ln ⁡ x

Quando x → 1 , x ln ⁡ x - x + 1 → 0 x - 1 ln ⁡ x → 0 , então agora temos uma indeterminação do tipo 0/0 e podemos aplicar a regra!!!

Passo 3

Aplicando a regra, temos que

lim x → 1 ⁡ x ln ⁡ x - x + 1 x - 1 ln ⁡ x = lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x + x ⋅ 1 / x - 1 ln ⁡ x + x - 1 ⋅ 1 / x = lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x ln ⁡ x + ( x - 1 ) / x

Assim,

lim x → 1 ⁡ x ln ⁡ x - x + 1 x - 1 ln ⁡ x = lim x → 1 ⁡ x ln ⁡ x x ln ⁡ x + x - 1

Novamente temos uma identerminação do tipo 0/0.

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hospital novamente:

lim x → 1 ⁡ x ln ⁡ x x ln ⁡ x + x - 1 = lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x + x * 1 x ln ⁡ x + x * 1 x + 1 = lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x + 1 ln ⁡ x + 2

Sendo assim , quando x → 1 , temos que :

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x + 1 ln ⁡ x + 2 = ln ⁡ 1 + 1 ln ⁡ 1 + 2 = 1 2

Resposta

lim x → 1 ⁡ x x - 1 - 1 ln ⁡ x = 1 2

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