Enunciado

Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → ∞ ⁡ x 2 + x - x

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado quer que utilizemos a Regra de L'Hôspital para encontar o seguinte limite:

lim x → ∞ ⁡ x 2 + x - x

Caso não seja aplicável, devemos utilizar outro método.

Lembrando que a regra de L'Hôpital é um método para calcular limites indeterminados de funções que podem resultar em formas do tipo 0 / 0 ou ∞ / ∞ .

Consiste em derivar o numerador e o denominador separadamente quando o limite é indeterminado e avaliar novamente o limite.

Se o novo limite ainda for indeterminado, repete-se o processo até que o limite possa ser determinado. ​

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

O limite é uma indeterminação do tipo ∞ - ∞ : não podemos aplicar a regra de L’Hospital ainda! Vamos brincar um pouco com a expressão:

x 2 + x - x = x 2 1 + 1 x - x

Como x > 0 no limite,

x 2 1 + 1 x - x = x 1 + 1 x - 1

Então

lim x → ∞ ⁡ x 2 + x - x = lim x → ∞ ⁡ x 1 + 1 x - 1

Agora temos uma indeterminação do tipo ∞ ⋅ 0 .

Vamos fazer uma mudança de variável: t = 1 / x .

Assim, quando x → ∞ , t → 0 e, além disso, x = 1 / t . Desta forma,

lim x → ∞ ⁡ x 1 + 1 x - 1 = lim t → 0 ⁡ 1 + t - 1 t

Finalmente chegamos em algo interessante: uma indeterminação do tipo 0 / 0 .

Passo 3

Agora que temos uma indeterminação do tipo 0/0, podemos aplicar a regra de L’Hospital:

lim t → 0 ⁡ 1 + t - 1 ' t ' = lim t → 0 ⁡ 1 2 1 + t 1 = lim t → 0 ⁡ 1 2 1 + t = 1 2

Resposta

1 / 2 .

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