Enunciado

Mostre que com qualquer n inteiro positivo

underset(x -> oo)(lim) (ln x)/(x^n) = 0

Passo 1

Observe que inicialmente, quando x tende a infinito, temos um limite do tipo (oo)/(oo) . Se aplicarmos l’hopital n vezes, chegaremos a um ponto onde o polinômio no denominador viraris um número, enquanto a derivada do ln só subiria o valor do expoente. Veja o exemplo, suponde que o n valha 3.

underset(x -> oo)(lim) (ln x)/(x^3)

Vamos então aplicar L' hopital :

underset(x -> oo)(lim) ((1)/(x))/(3 x^2)

Aplicando mais uma vez:

underset(x -> oo)(lim) ((- 1)/(x^2))/(6 x)

Por último:

underset(x -> oo)(lim) ((2)/(x^3))/(6)

Observa como chega em um momento onde o denominador se torna uma contante, enquanto o expoente no numerador só cresce... isso faz com que tenhamos uma fração em cima, que tende para zero, dividido por uma contante n denominador. Logo, como resultado, teremos sempre 0, independente do valor de n .

Passo 2

Outra forma de perceber isso seria pela velocidade de crescimento das funções. O menor valor possível para n seria 1. Ao observarmos as funções f (x) = x e f (x) = ln x podemos observar que a função f (x) = x cresce muito mais rápido do que o ln x , logo se aproxima primeiro de infinito, logo teríamos uma contante dividido por infinito que nos dá:

underset(x -> oo)(lim) (ln x)/(x^n) = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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