Enunciado

  1. Mostre que a série ∑ n = 0 ∞ x n / n ! converge para todo x .
  2. Deduza que o lim n → ∞ ⁡ x n / n ! = 0 para todo x .

Passo 1

Fala aí, pessoal!

A questão nos pede para mostrar que a série dada converge. Para tanto, nós utilizaremos o Teste da Razão.

O Teste da Razão diz o seguinte:

  1. Se lim n → ∞ ⁡   a n + 1 a n = L < 1 , então a série ∑ a n é absolutamente convergente e, portante, converge.
  2. Se lim n → ∞ ⁡   a n + 1 a n = L > 1 ou se lim n → ∞ ⁡   a n + 1 a n = ∞ , então a série é divergente.
  3. Se lim n → ∞ ⁡   a n + 1 a n = L = 1 , nós não conseguimos afirmar por este teste se a série é convergente ou não.

Em seguida, a questão pede para nós deduzirmos que o termo geral da série dada tende a zero, quando n tende ao infinito para qualquer valor escolhido para x . Para isso, nós podemos usar o seguinte teorema:

Teorema 1: Se uma série ∑ a n qualquer converge, então lim n → ∞ ⁡ a n = 0 .

Passo 2

Então, pessoal, vamos determinar a expressão para a divisão absoluta a n + 1 a n para nós podermos usar o Teste da Razão.

A expressão do n-ésimo termo da série nos foi dado na questão:

a n = x n n !

Nós determinamos o (n + 1)-ésimo termo substituindo n por n + 1 na expressão de an:

a n + 1 = x n + 1 n + 1 !

Assim, temos que:

a n + 1 a n = x n + 1 n + 1 ! x n n ! =   x n + 1 n + 1 ! ⋅ n ! x n = x n x 1 n + 1 n ! ⋅ n ! x n = x n + 1

Passo 3

Determinada a razão a n + 1 a n , precisamos determinar seu limite quando n tende ao infinito. Veja que quando n se torna muito grande, a divisão | x | n + 1 se torna cada vez mais próxima de zero, pois | x | é único para cada valor de x escolhido e, eventualmente, o denominador ficará muito maior que o numerador a medida que n aumenta. Portanto

lim n →  ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ | x | n + 1   = 0 < 1

E segue do Teste da Razão que a série dada é absolutamente convergente, portanto ela converge.

Passo 4

Demonstrado que a série dada converge, nós concluímos diretamente do Teorema 1 do Passo 1 que o termo x n / n ! → 0 quando n → ∞ .

Vocês verão mais tarde que a série ∑ n = 0 ∞ x n / n ! é a série de Maclaurin da função exponencial.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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