Enunciado

Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

∑ n = 1 ∞ - 1 n . e 1 n n 3

Passo 1

Vamos usar o teste da razão: Colocando a n = - 1 n . e 1 n n 3

Escrevendo, a n + 1 a n = - 1 . e 1 n + 1 n + 1 3 n 3 e 1 n = e 1 n + 1 - 1 n . n n + 1 3  

Se n → ∞ , temos que o expoente tende a zero e, portanto, a exponencial tende a 1 . A fracao também tende a 1 , portanto, L = 1 .

Temos que o teste da razão e inconclusivo.

Passo 2

Testando a convergência absoluta:

∑ n = 1 ∞ - 1 n . e 1 n n 3 =   ∑ n = 1 ∞ e 1 n n 3

Sabendo que se n ≥ 1 → e ≥ e 1 n . Portanto, vale que: e n 3 ≥ e 1 n n 3 .

A serie com o termo geral descrito na esquerda e convergente, já que e o produto de uma serie convergente por uma constante. Logo, pelo Teste de Comparacao, temos que a seria eh convergente.

Entao, a serie do enunciado e absolutamente convergente.

Resposta

A serie e absolutamente convergente.

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