Enunciado

Encontre o polinômio de Taylor T 3 ( x ) da função f em a . Trace f e T 3 na mesma tela.

f x = ln ⁡ x x ,                     a = 1

Passo 1

Neste caso, consegue ver que as derivadas vão ficar um pouco complicadas com o aumento de n ? Então não vamos buscar um padrão para a série, vamos só calcular os termos com n = { 0,1 , 2,3 } , que vai nos dar o T 3 direto.

Então derivando e substituindo x = 1 que é o nosso centro

f = ln ⁡ x x ⇒ f 1 = 0

f ' = 1 x 2 - ln ⁡ x x 2 ⇒ f ' 1 = 1

f ' ' = - 2 x 3 - 1 x 3 + 2 ln ⁡ x x 3 = - 3 x 3 + 2 ln ⁡ x x 3 ⇒ f ' ' 1 = - 3

f ' ' ' = 9 x 4 + 2 x 4 - 6 ln ⁡ x x 4 = 11 x 4 - 6 ln ⁡ x x 4 ⇒ f ' ' ' 1 = 11

Passo 2

Como temos as derivadas no centro x = 1 das três primeiras derivadas, respeitando a fórmula da série de Taylor

∑ n = 0 ∞ f n ( a ) n ! x - a n

Para calcularmos T 3 precisamos apenas do grau 3 e inferiores, então temos que

T 3 = ( x - 1 ) - 3 ( x - 1 ) 2 2 + 11 ( x - 1 ) 3 3 !

Passo 3

Traçando a função e T 3 no plano

De vermelho temos a função f e em cinza T 3 .

Resposta

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