Enunciado

  1. Aproxime f por um polinômio de Taylor com grau n em a .
  2. Use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f x ≈ T n ( x ) quando x estiver no intervalo dado.
  3. Verifique seu resultado na parte (b) traçando R n x

f x = x - 2 ,                     a = 1 ,                     n = 2 ,                     0,9 ≤ x ≤ 1,1

Passo 1

  1. Primeiramente, para encontrar os polinômios de Taylor vamos usar o formato da série de Taylor é
  2. ∑ n = 0 ∞ f n ( a ) n ! x - a n

    Para n = 2 precisaremos até a segunda derivada, então derivando e substituindo no centro x = 1

    f = x - 2 ⇒ f 1 = 1

    f ' = - 2 x - 3 ⇒ f ' 1 = - 2

    f ' ' = 6 x - 4 ⇒ f ' ' 1 = 6

    Então nosso polinômio é

    T 2 = 1 - 2 x - 1 + 6 2 ! x - 1 2

    T 2 = 1 - 2 x - 1 + 3 x - 1 2

    Passo 2

  3. Para usar a desigualdade de Taylor temos a seguinte relação, se f n + 1 ( x ) ≤ M , então
  4. R n x < M n + 1 ! x - a n + 1

    Então para estimar o erro, vamos precisar primeiramente da terceira derivada

    f ' ' ' x = - 24 x - 5 = - 24 x 5

    Agora precisamos de um valor M que seja maior que essa função em todo o intervalo 0,9 ≤ x ≤ 1,1 , para isso podemos analisar o seguinte, em todo o intervalo a função de f ' ' ' x está crescente, porém é negativa, então em módulo para pegarmos o maior valor da função, precisamos do menor valor do intervalo ( 0,9 ) e substituirmos, podemos dizer que

    f ' ' ' x ≤ f ' ' ' 0,9 ,                     x ∈ [ 0.9 , 1.1 ]

    Então podemos usar

    M = f ' ' ' 0,9 = - 24 ( 0,9 ) 5 = 24 0,59049 = 40,64421 …

    Passo 3

    Temos então que

    R 2 x ≤ 40,64421 3 ! x - 1 3

    Agora precisamos do valor de x - 1 3 , se manipularmos o intervalo 0,9 ≤ x ≤ 1,1 subtraindo 1 em todas as partes da igualdade

    - 0,1 ≤ x - 1 ≤ 0,1

    Podemos colocar em módulo

    x - 1 ≤ 0 , 1

    Elevando ao cubo

    x - 1 3 ≤ 0,001

    Logo

    R 2 x ≤ 40,64421 3 ! ( 0,001 )

    R 2 x ≤ 0,0067 … = 6,7 × 10 - 3

    Passo 4

  5. Traçando o gráfico de | R n | , para achar a função R n vamos usar a definição que diz

R n = f x - T n

R 2 = x - 2 - T 2

R 2 = x - 2 - 1 - 2 x - 1 + 3 x - 1 2

R 2 = x - 2 - 1 - 2 x - 1 + 6 x - 1 2

No plano

Pelo gráfico parece que o erro é menor que 5 × 10 - 3 .

Resposta

  1. T 2 = 1 - 2 x - 1 + 3 x - 1 2
  2. R 2 x ≤ 6,7 × 10 - 3
  3. y = | R 2 ( x ) |

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