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Encontre o polinômio de Taylor T 3 ( x ) da função f em a . Trace f e T 3 na mesma tela.

f x = cos ⁡ x ,                     a = π / 2  

Passo 1

Primeiramente, para encontrar os polinômios de Taylor, precisamos saber qual a série dessa função, então vamos meter a mão na massa. Lembrando que o formato da série de Taylor é

∑ n = 0 ∞ f n ( a ) n ! x - a n

Para isso vamos derivar algumas vezes e substituir em x = π / 2 que é nosso centro

f = cos ⁡ x ⇒ f π / 2 = 0

f ' = - sen ⁡ x ⇒ f ' π / 2 = - 1

f ' ' = - cos ⁡ x ⇒ f ' ' π / 2 = 0

f ' ' ' = sen ⁡ x ⇒ f ' ' ' π / 2 = 1

f ( 4 ) = cos ⁡ x ⇒ f 4 ( π / 2 ) = 0

Eae, conseguiu ver o padrão? Primeira coisa, podemos ver que os termos pares são 0 , então teremos um padrão só para os impares e esse padrão é uma alternada simples, parecida com a do seno, então

f 2 n + 1 π / 2 = - 1 n + 1

E assim temos nosso termo geral e nossa série é

f = cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 n ! x - π 2 2 n + 1

Passo 2

Para calcular T 3 , basta que achemos os primeiros termos da série e pararmos em n = 3 , então

T 3 x = - x - π 2 + x - π 2 3 3 ! - x - π 2 5 5 ! + x - π 2 7 7 !

Passo 3

Traçando a função e T 3 no plano

De vermelho temos a função f e em cinza T 3 .

Resposta

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