Enunciado

Mostre que, se y = ϕ ( t ) é uma solução da equação diferencial y ' ' + p t y ' + q t y = g t não é identicamente nula, y = c ϕ ( t ) , em que c e qualquer constante diferente de 1 , não é solução. Explique por que este resultado não contradiz a observação após o Teorema 3.2.2.

Passo 1

Se a função y = ϕ ( t ) é uma solução então ao substituirmos ela na equação diferencial do enunciado:

y ' ' + p t y ' + q t y = g ( t )

Ela irá satisfazer a equação.

Vamos substituir:

ϕ ' ' + p t ϕ ' + q t ϕ = g ( t )

Passo 2

Agora fazemos o mesmo para y = c ϕ ( t ) :

c ϕ ' ' + p t c ϕ ' + q t c ϕ = g ( t )

Ao derivarmos, a constante c não desaparece então ela fica em todos os termos da equação, podemos coloca-la em evidência e passar ela dividindo para o outro lado:

c ϕ ' ' + p t ϕ ' + q t ϕ = g ( t )

ϕ ' ' + p t ϕ ' + q t ϕ = g t c

Mas como já afirmamos que o lado direito é igual a g ( t ) , então:

g t = g ( t ) / c

E isso é impossível. Mostramos que y = c ϕ ( t ) não é uma solução.

Passo 3

Ela não contradiz a observação depois do teorema, porque o teorema só pode ser aplica em equação diferenciais de segunda ordem homogêneas, e a equação que o enunciado deu para a gente é não-homogênea. Se substituíssemos y = c ϕ ( t ) na equação homogênea:

y ' ' + p t y ' + q t y = 0

Aí sim ela seria uma solução.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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