Enunciado

Nos problemas de 38 a 40, suponha que p e q são contínuas e que as funções y 1 e y 2 são soluções da equação diferencial y ' ' + p t y ' + q t y = 0 em um intervalo abertro I .

Prove que, se y 1 e y 2 se anulam em um mesmo ponto em I , então não podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo.

Passo 1

Para resolvermos, iremos utilizar a suposição de que y 1 e y 2 são soluções da EDO e após isso iremos desenvolver toda a solução através do Wronskiano. Vamos também pegar um ponto qualquer do conjunto I para aplicar em nossa solução para provarmos que não poderão formar um conjunto fundamental.

Passo 2

Bom, vamos lá! Primeiro vamos partir da suposição que nos é sugerida: de que y 1 e y 2 são soluções da nossa equação

y ' ' + p t y ' + q t y = 0

Assim, podemos calcular o wronskiano dessas duas soluções. Para isso, vamos supor também que y 1 e y 2 são diferenciáveis. Logo, temos que:

W y 1 ,   y 2 = f 1 t f 2 t f 1 ' t f 2 ' t = y 1 t y 2 t y 1 ' t y 2 ' t

Calculando o determinante de forma cruzada, teremos que

y 1 t ⋅ y 2 ' t - y 2 t ⋅ y 1 ' t = W y 1 ,   y 2 t

Agora, vamos supor que y 1 t e y 2 t se anulam em t 0 . Assim temos que:

y 1 t 0 = 0

y 2 t 0 = 0

E nosso Wronskiano fica

W y 1 ,   y 2 t 0 = y 1 t 0 ⋅ y 2 ' t 0 - y 2 t 0 ⋅ y 1 ' t 0 =

= 0 ⋅ y 2 ' t - 0 ⋅ y 1 ' t = 0

Assim, teremos que nosso W y 1 , y 2 t 0 = 0 , e para ser um conjunto fundamental, temos que em nenhum ponto nosso wronskiano pode ser nulo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Se o wronskiano W de f e g é t 2 e t e se f t = t , encontre g ( t ) .
Verifique se y 1 t = 1 e y 2 t = t 1 / 2 são soluções da equação diferencial y y ' ' + y ' 2 = 0 para t0 . Depois mostre que c 1 + c 2 t 1 / 2 não é, em geral, solução dessa equação. explique por que
Se o wronskiano de f e g é t c o s t - s e n t e se u = f + 3 g , v = f - g , encontre o wronskiano de u e v .
Se o wronskiano W de f e g é 3 e 4 t e se f t = e 2 t , encontre g ( t ) .
Suponha que y 1 e y 2 formem um conjunto fundamental de soluções de y ' ' + p t y ' + q t y = 0 e sejam y 3 = a 1 y 1 + a 2 y 2 , y 4 = b 1 y 1 + b 2 y 2 , em que a 1 , a 2 , b 1 e b 2 são constantes