Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.5 - Ex. 33
Quando estudamos uma contaminação epidêmica, supomos que a probabilidade de um indivíduo infectado disseminar a doença para um indivíduo não infectado seja uma função da distância entre eles. Considere uma cidade circular com raio de na qual a população está uniformemente distribuída. Para um indivíduo não infectado no ponto suponha que a função probabilidade seja dada por
onde denota a distância de a .
(a) Suponha que a exposição de uma pessoa à doença seja a soma das probabilidades de adquirir a doença de todos os membros da população. Suponha ainda que as pessoas infectadas estejam uniformemente distribuídas pela cidade, existindo indivíduos contaminados por quilômetro quadrado. Determine a integral dupla que representa a exposição de uma pessoa que reside em .
(b) Calcule a integral para o caso em que está no centro da cidade e para o caso em que está na periferia da cidade. Onde seria preferível viver?
Passo 1
(a) Pessoal, como há indivíduos contaminados por quilômetro quadrado, podemos escrever a integral dupla que representa a exposição assim:
Passo 2
(b) Se está no centro da cidade, então A integral ficará assim:
Passo 3
Para na periferia, é mais conveniente usar um sistema de coordenadas polares centrado em , como mostra a seguinte figura:
Então a integral vai ficar assim:
Como a exposição na periferia é bem menor do que no centro , é preferível viver na periferia.
Resposta
(a)
(b) Centro:
Periferia:
É preferível viver na periferia.