Mostre que para todo x , com cos(x / 2) ≠ 0 , tem-se:

cos x = (1 - tg^2(x/2)) / (1 + tg^2(x/2))

Passo 1

Sabemos que tg 2 ⁡ x + 1 = sec 2 ⁡ x

Assim:

1 - tg 2 ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 = 1 - tg 2 ⁡ x 2 sec 2 ⁡ x 2 = 1 sec 2 ⁡ x 2 - tg 2 ⁡ x 2 sec 2 ⁡ x 2 = cos 2 ⁡ x 2 - sen ⁡ x 2 cos ⁡ x 2 2 1 cos ⁡ x 2   2

1 - tg 2 ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 = cos 2 ⁡ x 2 - sen 2 ⁡ x 2

Passo 2

Temos a relação do cosseno da soma que nos diz que

cos ⁡ a + b = cos ⁡ a cos ⁡ b - sen ⁡ a sen ⁡ b

Tomando a = b = x 2 :

1 - tg 2 ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 = cos ⁡ x 2 + x 2

1 - tg 2 ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 = cos ⁡ x

Logo, mostramos que

cos ⁡ x = 1 - tg 2 ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados