Seja ϕ(x) = 1/2(a^x + a^(-x)) e ψ(x) = 1/2 (a^x - a^(-x)) . Demonstrar que

ϕ(x + y) = ϕ(x) \* ϕ(y) + ψ(x) \* ψ(y)

psi(x + y) = phi(x) \* psi(y) + phi(y) \* psi(x)

Passo 1

Galera, a primeira coisa que devemos fazer é realizar esses produtos de funções para tentar chegar no resultado desejado.

ϕ x ⋅ ϕ y + ψ x ⋅ ψ ( y )

= 1 2 a x + a - x ⋅ 1 2 a y + a - y + 1 2 a x - a - x ⋅ 1 2 a y - a - y

= 1 4 a x a y + a x a - y + a - x a y + a - x a - y + 1 4 ( a x a y - a x a - y - a - x a y - a - x a - y )

= 1 4 a x + y + a x - y + a y - x + a - x - y + a x + y - a x - y - a y - x + a - x - y

= 1 4 2 a x + y + 2 a - x - y

= 1 2 a x + y + a - x - y = ϕ ( x + y )

Passo 2

Vamos agora verificar a segunda expressão!

ϕ x ⋅ ψ y + ϕ y ⋅ ψ ( x )

= 1 2 a x + a - x ⋅ 1 2 a y - a - y + 1 2 a x - a - x ⋅ 1 2 a y + a - y

= 1 4 a x + y - a x - y + a - x + y - a - x - y + a x + y + a x - y - a y - x - a - x - y

= 1 4 2 a x + y - 2 a - x - y

= 1 2 a x + y - a - x + y = ψ ( x + y )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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