Enunciado

Mostre que o valor exato da integral a seguir é π , interpretando-a como medida da área de uma região. Aproxime-se dess resultado usando a regra do trapézio para valor de n dado, com três casas decimais de precisão.

∫ 0 2 4 - x 2   ;     n = 8

Passo 1

Legal gente, sabemos que a regra do trapézio trata-se de uma soma com algumas regrinhas um pouco chatas, mas que vamos lembrar com calma ao longo dos passos 😊. Primeiro, vamos anotar todos as nossas variáveis importantes para o método do trapézio.

Limites de integração: a=2 e b=0

Número de passos: n=8

Passo 2

Temos uma formula para achar quantos passos nós devemos dar. Usamos esses passos mais tarde para contruir uma tabela e somar tudo, e daí achar a área da nossa equação... mas não vamos nos apressar! Primeiro, temos que o tamanho dos passos a ser dados é igual a:

h = a - b n  

Logo:

h = 2 - 0 8  

h = 0.25

Isso significa que vamos dar passos de 0.25 ate chegar no valor superior da nossa integral definida, o nosso a=2.

Passo 3

Agora vamos montar uma tabela e achar os valores da nossa f(x) para cada iteração!!

A nossa tabela tem esse comportamento:

Para a nossa questão, a tabela vai ter esse formato:

Passo 4

Tamo quase la galera! Agora que temos nossa tabela, vamos jogar na formula final, que funciona como um somatório para acharmos ENFIIIM, a nossa área final :D

A formula funciona assim:

ÁREA DA NOSSA INTEGRAL = h 2 [ f x 0 + 2 f x 1 + f x 2 + … + f x n - 1 + f x n ]

Ou seja, a gente pega o primeiro e o ultimo termo da nossa soma e deixa eles normais. E o nosso miolo a gente multiplica por 2, e no final soma tudo e divide pela distancia dos nossos passos sobre 2, o nosso h 2 !!

Para o nosso caso:

I = 0.25 2 [ 2 + 2 1.984 + 1.936 + 1.854 + 1.732 + 1.561 + 1.322 + 0.968 + 0  

Logo,

I = 3.089

E comparando com a resposta por integral definida direto, temos que:

∫ 0 2 x 4 - x 2 d x = π

Resposta

I = 3.089

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Ache os limitantes para o erro de truncamento na aproximação do exercício indicado. ∫ 1 2 d x x + 1 ; n = 8 .
Use a regra de Simpson com o valor indicado de n, para encontrar um valor aproximado da integral definida dada. Expresse o resultado com três casas decimais. ∫ π 2 3 π 2 s e nx x d x; n = 6
Use a regra de Simpson com o valor indicado de n, para encontrar um valor aproximado da integral definida dada. Expresse o resultado com três casas decimais. ∫ 0 2 1 + x 4d x; n = 6
Ache os limitantes para o erro de truncamento na aproximação do exercício indicado. ∫ - 1 0 d x 1 - x ; n=4.
Ache o limitante para o erro de truncamento na aproximação do exercício indicado: ∫ 0 2 x 3 d x ; n = 4