Enunciado

Ache os limitantes para o erro de truncamento na aproximação do exercício indicado.

∫ 1 2 d x x + 1 ; n = 8 .

Passo 1

O primeiro passo para achar o erro de truncamento é achar as derivadas parciais. Desse modo,

f x = 1 x + 1

f ' x = - 1 x + 1 2

f ' ' x = 2 x + 1 3

f ' ' ' x = - 6 x + 1 4

f i v x = 24 x + 1 5

f v x =   - 120 x + 1 6

Passo 2

Observe que, f v x < 0 para o intervalo (1,2). Então f v ( x ) é decrescente para esteve intervalo. Com isso, o valor mínimo absoluto de f i v em [1,2] f i v ( 2 ) , e o valor máximo absoluto de f i v em [1,2] é f i v ( 1 ) .

Logo,

f i v 2 = 8 81

f i v 1 = 3 4

Passo 3

Sabendo que, o erro de truncamento é dado por:

ϵ s =   - 1 180 b - a f i v η Δ x 4

Δ x = b - a n

Substituindo os valores, temos:

Δ x = 1 8

- 1 180 * 8 81 * 1 8 4 = - 1,34 * 10 - 7

E

- 1 180 * 3 4 * 1 8 4 = - 1,02 * 10 - 6

Portanto,

- 1,34 * 10 - 7 ≤ ϵ s ≤ - 1,02 * 10 - 6

Resposta

- 1,34 * 10 - 7 ≤ ϵ s ≤ - 1,02 * 10 - 6

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