Enunciado

Mostre que o vetor tangente a uma curva definida por uma função vetorial r(t) aponta no mesmo sentido da curva com t aumentando. [Dica: Consulte a Figura 1 e considere os casos h > 0 e h < 0   separadamente.]

Passo 1

Oie, belezinha? Bora resolver uma questãozinha de demonstração?

Como resolvemos? Se liga da dica!

Para mostrar que o vetor tangente r ' ( t ) aponta no mesmo sentido da curva conforme t aumenta, siga estes passos:

Vamos definir o vetor tangente como r ' ( t ) , considerando um ponto próximo r ( t + h ) para h > 0 e h < 0 . 3), podemos mostrar que r ( t + h ) - r ( t ) ≈ h r ' ( t ) , e finalizar que r ' ( t ) aponta na direção da curva quando t aumenta.

Agora é só começarmos!

Passo 2

O vetor tangente r   ' ( t ) é definido como:

lim h → 0 ⁡ r t + h - r ( t ) h

Aqui assumimos que esse limite existe e que r ' ( t ) ≠ 0 .

então nós sabemos que esse vetor está na linha tangente à curva. Como na Figura 1, deixe os pontos P e Q serem vetores de posição r ( t ) e r ( t + h ) .

Passo 3

O vetor r t + h - r ( t ) são aponta de P para Q , então:

r t + h - r t = P Q →

Se h > 0 , então t < t + h , assim, Q   está “a frente” de P na curva.

Se h for suficientemente pequeno (podemos considerar h ser o menor que quisermos desde que h → 0 ). Assim, P Q → aproxima a curva de P para Q , portanto, aponta aproximadamente na direção da curva à medida que t aumenta.

Desde que h seja positivo:

1 h P Q → = r t + h - r ( t ) h

Os pontos estão na mesma direção.

Passo 4

Se h < 0 , então t > t + h , então Q fica “atrás” de P na curva.

Se h   for suficientemente pequeno, P Q → aproxima a curva, mas aponta na direção da diminuição de t . No entanto, h é negativo, então

1 h P Q → = r t + h - r ( t ) h

Os pontos estão em direção oposta.

Passo 5

Isto é, na direção de aumentar t . Nos dois casos, a diferença do quociente r t + h - r ( t ) h aponta na direção de aumentar t .

O vetor tangente r ' t é o limite desse quociente de diferença, portanto, ele também deve apontar na direção de aumentar t .

Resposta

Demostração feita nos passos acima.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a velocidade, a aceleração e a rapidez da partícula cuja função posição é dada. Esquematize o caminho da partícula e desenhe os vetores velocidade e aceleração para os valores de t especific
Determine a velocidade, a aceleração e a rapidez da partícula cuja função posição é dada. Esquematize o caminho da partícula e desenhe os vetores velocidade e aceleração para os valores de t especific
Determine a velocidade, a aceleração e a rapidez da partícula cuja função posição é dada. Esquematize o caminho da partícula e desenhe os vetores velocidade e aceleração para os valores de t especific
O movimento de um besouro que desliza sobre a superfície de uma lagoa pode ser expresso pela função vetorial r → t = 1 - cos ⁡ t m i → + 2 t + t - sen ⁡ t m j → onde m é a massa do besouro. Determinar
Sejam vec f (t) = vec a t + vec b t^2 e vec g (t) = t vec i + sin t vec j + cos t vec k , com vec a = vec i + vec j e vec b = 2 vec i - vec j ; 0 = t = 2 pi . Calcular:(b) vec f (t) * vec g ( t )