Enunciado

Mostre que o vetor tangente a uma curva definida por uma função vetorial r(t) aponta no mesmo sentido da curva com t aumentando. [Dica: Consulte a Figura 1 e considere os casos h > 0 e h < 0   separadamente.]

Passo 1

O vetor tangente r   ' ( t ) é definido como:

lim h → 0 ⁡ r t + h - r ( t ) h

Aqui assumimos que esse limite existe e que r ' ( t ) ≠ 0 .

então nós sabemos que esse vetor está na linha tangente à curva. Como na Figura 1, deixe os pontos P e Q serem vetores de posição r ( t ) e r ( t + h ) .

O vetor r t + h - r ( t ) são aponta de P para Q , então:

r t + h - r t = P Q →

Se h > 0 , então t < t + h , assim, Q   está “a frente” de P na curva.

Se h for suficientemente pequeno (podemos considerar h ser o menor que quisermos desde que h → 0 ). Assim, P Q → aproxima a curva de P para Q , portanto, aponta aproximadamente na direção da curva à medida que t aumenta.

Desde que h seja positivo:

1 h P Q → = r t + h - r ( t ) h

Os pontos estão na mesma direção.

Se h < 0 , então t > t + h , então Q fica “atrás” de P na curva.

Se h   for suficientemente pequeno, P Q → aproxima a curva, mas aponta na direção da diminuição de t . No entanto, h é negativo, então

1 h P Q → = r t + h - r ( t ) h

Os pontos estão em direção oposta.

isto é, na direção de aumentar t . Nos dois casos, a diferença do quociente r t + h - r ( t ) h aponta na direção de aumentar t .

O vetor tangente r ' t é o limite desse quociente de diferença, portanto, ele também deve apontar na direção de aumentar t .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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