Enunciado

Movimento ao longo de um eixo cartesiano

Uma partícula se desloca ao longo de um eixo coordenado com aceleração a = d 2 s / d t 2 = 15 t - ( 3 / t ) , sujeita às condições d s / d t = 4 e s = 0 quando t = 1 . Determine

a. a velocidade v = d s / d t em termos de t .

b. a posição s em termos de t .

Passo 1

Sabendo que a aceleração é a derivada da função da velocidade, podemos integrar a função da aceleração para analisar a velocidade da forma desejada.

Da mesma forma, podemos descobrir a função do deslocamento integrando a função da velocidade encontrada anteriormente.

Passo 2

Então, para descobrir a velocidade, temos que:

v = ∫ a   d t = ∫ 15 t - 3 t d t

v = 10 t 3 / 2 - 6 t 1 / 2 + C 1

Aplicando os valores da condição dada:

v = d s d t = 4 = 10 1 3 / 2 - 6 1 1 / 2 + C 1

∴ C 1 = 0

Com isso:

v = d s d t = 10 t 3 / 2 - 6 t 1 / 2

Passo 3

Agora, é possível determinar a equação do deslocamento que é representado pela integral da função velocidade, ou seja:

s = ∫ 10 t 3 / 2 - 6 t 1 / 2 d t = 4 t 5 / 2 - 4 t 3 / 2 + C 2

Para encontrar a constante C 2 , devemos aplicar as condições iniciais. Assim, temos:

0 = 4 1 5 / 2 - 4 1 3 / 2 + C 2 ∴ C 2 = 0

E:

s = 4 t 5 / 2 - 4 t 3 / 2

Resposta

a. A velocidade é dada por v = 10 t 3 / 2 - 6 t 1 / 2 .

b. A posição é dada por s = 4 t 5 / 2 - 4 t 3 / 2 .

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