Enunciado

Determine o volume do sólido dado.

Limitado pelos cilindros x 2 + y 2 = r 2 e y 2 + z 2 = r 2 .

Passo 1

A questão pede para usarmos integrais duplas para calcular o volume entre os cilindros

x 2 + y 2 = r 2               e             y 2 + z 2 = r 2

Sabemos que o volume abaixo do gráfico de uma função f x ,   y e acima do plano x y é dado por

V = ∫ ∫ D f x ,   y   d y   d x

A seguir faço um plot dos dois cilindros, um com o eixo na direção z e outro com o eixo na direção x :

Vamos considerar a região de integração no plano x y limitada a

x 2 + y 2 ≤ r 2

Além disso, vamos fazer apenas a integração do volume acima do plano x y e, daí, multiplicamos o resultado por 2 :

V = 2 ∫ ∫ D f x ,   y   d y   d x

A função sobre a qual vamos fazer a integral é dada pelo cilindro “deitado” na figura, cuja equação é

y 2 + z 2 = r 2

Para achar a fução, isolamos z :

z = ± r 2 - y 2

Como estamos olhando para a parte acima do plano x y , vamos tomar o sinal positivo:

f x ,   y = r 2 - y 2

Passo 2

Precisamos descobrir também os limites de integração. Para isso, olhamos para a região de integração no plano x y :

Enquanto x varia de - r até r , y varia de - r 2 - x 2 até r 2 - x 2 . Assim, a integral fica

V = 2 ∫ - r r ∫ - r 2 - x 2 r 2 - x 2 r 2 - y 2   d y   d x

Acontece que a integral nessa ordem é bem chata de se fazer. Por isso, vamos inverter a ordem, fazendo y variar de - r até r e x variar de - r 2 - y 2 até r 2 - y 2 . Quando fazemos isso, a integral fica

V = 2 ∫ - r r ∫ - r 2 - y 2 r 2 - y 2 r 2 - y 2   d x   d y

Mas por que é melhor inverter a ordem de integração? Observe que a função que vamos integrar não depende de x , assim fazer a primeira integral na variável x deixa tudo mais simples!

Passo 3

Antes de fazer a integral, note que ao invés de considerarmos o círculo inteiro, podemos simplesmente fazer a integral no primeiro quadrante e multiplicar o resultado por 4 :

V = 2 ⋅ 4   ∫ 0 r ∫ 0 r 2 - y 2 r 2 - y 2   d x   d y

Isso pode ser feito por o integrando é uma função par. Como o integrando não depende de x , a primeira integral é bem simples:

V = 8 ∫ 0 r r 2 - y 2   r 2 - y 2 - 0   d y = 8 ∫ 0 r r 2 - y 2   d y

Na ordem de integração inversa, essa primeira integral daria bastante trabalho...

Agora ficou fácil né? Só terminar de integrar:

V = 8   r 2 y - y 3 3 0 r = 8   r 3 - r 3 3

Assim,

V = 16 r 3 3

Resposta

V = 16 r 3 3

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