Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.9 - Ex. 34
Utilize coordenadas esféricas.
Determine a massa e centro de massa do hemisfério sólido de raio se a densidade em qualquer ponto for proporcional à sua distância da base.
Passo 1
Como vamos estudar um hemisfério, vamos usar a esfera , com . Assim, a base do hemisfério está no plano e a distância de um ponto até essa base vai ser
Portanto, a densidade será
Devido a simetria, temos que as coordenadas e do centro de massa se anulam. Já para :
onde é a massa
Como , em coordenadas esféricas teremos . Assim,
Passo 2
Para achar a massa, temos
Assim,
Passo 3
Já para o centro de massa
Assim,
Usando a expressão para massa que encontramos:
Resposta
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Centro de massa e momento de inercia: repita o exercício 19 para δ x , y = 3 x 2 + 1
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Encontrando um centro de massa e momento de inércia: encontre o centro de massa e o momento de inercia em relação ao eixo y de uma placa retangular fina cortada no primeiro quadrante pelas retas x = 6
Encontrando o momento de inercia: encontre o momento de inercia em relação ao eixo x de uma placa fina de densidade δ = 1 delimitada pela circunferência x 2 + y 2 = 4 . Em seguida, utilize seu resulta
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