Enunciado

Uma mulher em um ponto A na praia de lago circular com raio 2 mi quer chegar no ponto C diametralmente oposto a A do outro lado do lago no menor tempo possível. Ela pode andar a uma taxa de 4 mi/h e remar um bote a 2 mi/h. Como ela deve proceder?

Passo 1

O que queremos fazer aqui é representar o tempo total T que leva a mulher até o ponto C , dependendo do ângulo θ de partida dela no lago em relação a A C . Esse tempo depende da parte que ela vai nadando e da parte que ela rema o bote no interior do lago. Após encontrar T ( θ ) , vamos encontrar seu mínimo absoluto para 0 < θ < π / 2 .

Passo 2

Primeiro vamos calcular o tempo T 1 que ela leva de A até B . A velocidade na água é 2 mi/h. Sabemos da física que o tempo é calculado da seguinte maneira:

s 1 = v 1 T 1 ⇒ T 1 = s 1 v 1 = s 1 2

Sendo s 1 a distância A B em milhas e T 1 em horas. Agora calculamos s 1 pelo triângulo A B C :

cos ⁡ θ = s 1 4 ⇒ s 1 = 4 cos ⁡ θ

Então temos finalmente o tempo T 1 :

T 1 = s 1 2 = 4 cos ⁡ θ 2 = 2 cos ⁡ θ

Passo 3

Calculamos então o tempo T 2 que a mulher leva de B até C , ao longo da circunferência. A velocidade dela nesse trecho é v 2 = 4 mi/h. Novamente, temos:

T 2 = s 2 v 2 = s 2 4

Pela figura a seguir, podemos encontrar o arco B C em função de θ :

O ângulo α é achado facilmente:

180 ° - 2 θ + α = 180 °

⇒ α = 2 θ

Então o cálculo do arco é feito:

s 2 = R α = 2 2 θ = 4 θ

Finalmente, temos também o tempo T 2 em função de θ :

T 2 = s 2 4 = 4 θ 4 = θ

Sendo θ dado em radianos.

Passo 4

Temos então, somando T 1 e T 2 , o tempo total de viagem da moça de A a C :

T θ = 2 cos ⁡ θ + θ

Teremos um ponto crítico quando a derivada for zero ou não existir. Derivando a função:

T ' θ = - 2 sen ⁡ θ + 1

Como a derivada sempre existe para 0 < θ < π / 2 , vamos ver quando ela se anula:

- 2 sen ⁡ θ + 1 = 0

⇒ sen ⁡ θ = 1 2

⇒ θ = π 6 = 30 °

Passo 5

Agora temos o único ponto crítico, vamos então analisar o valor do tempo T nesse ponto e nos extremos θ = 0 e θ = π 2 . Temos:

T 0 = 2 cos ⁡ 0 + 0 = 2

T π 6 = 2 cos ⁡ π 6 + π 6 = 3 + π 6 ≈ 2 , 2 5 6

T π 2 = 2 cos ⁡ π 2 + π 2 = π 2 = 1,571

Isso quer dizer que na verdade, o ponto θ = π 6 é um máximo da função tempo, de modo que o ponto que minimiza a função ocorre em:

θ = π 2

Ou seja, o caminho mais rápido para a moça é quando ela opta por não entrar no lago e remar, apenas caminhar ao redor lago.

Resposta

A mulher deve apenas caminhar ao redor do lago, partindo de um ângulo θ = π 2 .

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