Encontre a área da região sob a curva de a até b :

y = 1 / (x^2 - 6x + 8), a = 5, b = 10

Passo 1

Para encontrar essa área, precisamo calcular a seguinte integral:

I = ∫ 5 10 1 x 2 - 6 x + 8   d x

Vamos reescrever o termo no denominador:

x 2 - 6 x + 8 = x - 3 2 - 1

I = ∫ 5 10 1 x - 3 2 - 1   d x

E então vamos fazer uma substituição:

u = x - 3         ⇒           d u = d x

I = ∫ 2 7 1 u 2 - 1   d u = ∫ 2 7 1 u - 1 u + 1   d u

Passo 2

Agora vamos decompor essa integral em frações parciais:

1 u - 1 u + 1 = A u - 1 + B u + 1

Multiplicando os dois lados por u - 1 u + 1 :

1 = A u + 1 + B u - 1

1 = A + B u + A - B

Ou seja:

A + B = 0 A - B = 1

Então A = 1 / 2 e B = - 1 / 2 .

Passo 3

Então nossa integral fica da seguinte forma:

I = ∫ 2 7 1 u 2 - 1   d u = 1 2 ∫ 2 7 1 u - 1 - 1 u + 1   d u

I = 1 2 ln ⁡ u - 1 - ln ⁡ u + 1 7 2

I = 1 2 ln ⁡ u - 1 u + 1 7 2

I = 1 2 ln ⁡ 6 8 - 1 2 ln ⁡ 1 3

I = 1 2 ln ⁡ 9 4 = ln ⁡ 3 2

Resposta

A área da região sobre a curva vale ln ⁡ ( 3 / 2 ) unidades de área.

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