Enunciado

Uma mulher em um ponto A na praia de um lago circular com raio de 3   k m quer chegar no ponto C diametralmente oposto a A do outro lado do lago no menor tempo possível. Ela pode andar a uma taxa de 6   k m / h e remar um bote a 3   k m / h . Como deve proceder?

Passo 1

Opa, bora pra mais uma questão?! Temos um desafio dessa vez!

O enunciado fala de um lago com a forma de um círculo com um raio de 3 k m . Tem uma mulher no ponto A e ela quer chegar ao ponto C que fica a um diâmetro de distância. Ela pode ir pela água remando com a velocidade de 3   k m / h e andar a uma velocidade de 6 k m / h .

Temos que descobrir qual percurso que leva o menor tempo! Vamos olhar o desenho que o enunciado nos fornece:

Nesse desenho ai de cima temos um percurso genérico, de modo que a mulher nadaria a distância A B e andaria uma distância B C . Podemos calcular o tempo fazendo:

t = d v

Onde t é o tempo, d é a distância total e v é a velocidade. Então teremos:

t = A B 3 + B C 6

Temos que calcular t mínimo, então vamos precisar desenvolver a função acima e deriva-la em relação ao tempo! Vamos colocar a mão na massa?

Passo 2

Ligando os pontos da figura dada e utilizando as propriedades da geometria, a gente pode formar uma figura assim:

Como na figura se forma um triângulo isósceles com dois lados medindo 3 , o ângulo A B ^ O também mede θ . O ângulo A O ^ B mede 180 ° - θ - θ , então o ângulo B O ^ C   mede:

180 ° - ( 180 ° - 2 θ ) = 2 θ

Podemos dizer que:

cos ⁡ θ = A B 6

A B = 6 cos ⁡ θ

Lembrando que A B representa a distância que a mulher irá remar. Já a distância que ela terá de andar, é representada pelo arco B C , que vale:

a r c o   B C = 3 ∙ 2 θ = 6 θ

Então podemos então escrever:

t = 6 cos ⁡ θ 3 + 6 θ 6

t θ = θ + 2 cos ⁡ θ   ,   0 ≤ θ ≤ π 2

Passo 3

Agora vamos calcular t ' θ = 0 :

t θ = θ + 2 cos ⁡ θ  

t ' θ = 1 - 2 sen ⁡ θ

Calculando sua raiz:

1 - 2 sen ⁡ θ = 0

sen ⁡ θ = 1 2

θ = π 6

Testando θ nos seus pontos extremos e em π 6 , temos:

t 0 = 2

t π 2 = π 2 ≅ 1,57

t π 6 = 3 + π 6 ≅ 2,26

O valor mínimo ocorre quando θ = π 2 ,   isso quer dizer que a mulher deve andar todo o caminho.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A   m u l h e r   d e v e   a n d a r   t o d o   o   c a m i n h o .

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