Responde Aí

Enunciado

Numa certa reação química, a taxa de conversão de uma substância é proporcional à quantidade da substância que ainda não reagiu até aquele instante. Após 10 min, um terço da quantidade da substância original já reagiu e 20 g já reagiram após 15 min. Qual era a quantidade original da substância?

Passo 1

Se y ( t ) for a quantidade de substância que ainda não reagiu após t min, e se y 0 = y 0 for a quantidade inicial da substância, o enunciado diz que a taxa de decrescimento de y é proporcional a y . Temos então a seguinte equação diferencial:

d y d t = - k y

Devemos então resolver a equação para y 0 = y 0 , y 10 = 2 3 y 0 e y 15 = y 0 - 20 .

Passo 2

Vamos primeiro separar as variáveis y e t na equação:

d y y = - k d t

Agora podemos integrar os dois lados:

∫ d y y = ∫ - k d t ⇒ ln ⁡ y = - k t + C

O que nos leva a:

y = e - k t + C = A e - k t

sendo A uma constante e A = e C .

Passo 3

Como y 0 = y 0 , temos:

y 0 = A e 0 = A = y 0 ⇒ y = y 0 e - k t

De y 10 = 2 3 y 0 , tiramos:

y 10 = y 0 e - 10 k = 2 3 y 0

⇒ e - 10 k = 2 3 ⇒ ln ⁡ e - 10 k = ln ⁡ 2 3 ⇒ - 10 k = ln ⁡ 2 3 ⇒ k = - ln ⁡ 2 3 10 = 1 10 ln ⁡ 3 2

Passo 4

Nossa equação é então:

y = y 0 e - 1 10 ln ⁡ 3 2 t = y 0 e ln ⁡ 3 2 - t 10 = y 0 2 3 t 10

Mas sabemos que y 15 = y 0 - 20 , o que nos leva a:

y 15 = y 0 - 20 = y 0 2 3 15 10 ⇒ 20 = y 0 1 - 2 3 3 2

y 0 = 20 1 - 2 3 3 2 ≈ 43,89   g

Resposta

43,89 g.

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