Enunciado

Se certa quantia dobra em 10 anos investida a juros compostos continuamente, quanto tempo levará para que a quantia inicial triplique?

Passo 1

O valor A ( t ) no tempo t de uma quantia inicial P que foi investida a juros compostos continuamente pode ser representado por uma lei de crescimento natural dada a seguir:

A t = P ⋅ e i t

Sendo i a taxa de juros e t os anos decorridos desde o início do investimento. Devemos então achar a função A ( t ) para então descobrir em que tempo teremos o valor de A igual a 3 P .

Passo 2

Pelo enunciado, em 10 anos temos a quantia igual a 2 P :

A 10 = P ⋅ e 10 i = 2 P ⇒ e 10 i = 2

Aplicando l n dos dois lados:

ln ⁡ e 10 i = ln ⁡ 2 ⇒ 10 i = ln ⁡ 2 ⇒ i = ln ⁡ 2 10

Passo 3

Nossa função de crescimento é então:

A t = P ⋅ e ln ⁡ 2 10 t = P ⋅ e ln ⁡ 2 t 10 = P ⋅ 2 t 10

Queremos que A seja igual a 3 P , então:

P ⋅ 2 t 10 = 3 P ⇒ 2 t 10 = 3 ⇒ ln ⁡ 2 t 10 = ln ⁡ 3 ⇒ t 10 ln ⁡ 2 = ln ⁡ 3 ⇒ t = 10 ln ⁡ 3 ln ⁡ 2

⇒ t = 15,85   a n o s

Resposta

t = 15,85 anos

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