Enunciado

Nesse problema, vamos esboçar uma demonstração de que os autovalores do problema de valores de contorno (18), (19) são reais.

exp ⁡ i μ π - exp ⁡ - i μ π = 0

(a) Escreva a solução da Eq. (18) como y   =   k 1 e x p ( i μ x )   +   k 2 e x p ( - i μ x ) , em que λ   =   μ 2 , e imponha as condições de contorno (19). Mostre que existem soluções não triviais se, e somente se, 10.2

(b) Seja μ   =   ν   +   i σ e use a relação de Euler e x p ( i ν π )   =   c o s ( ν π )   +   i   s e n ( ν π ) para determinar as partes real e imaginária da Eq. (i).

(c) Considerando as equações encontradas no item (b), mostre que v é um inteiro e que σ   =   0 . Em consequência, μ é real e λ também.

Passo 1

Nós temos que:

y ' ' + λ y = 0

Podemos aplicar na equação característica:

r 2 +   λ = 0

r 2 = -   λ  

r = ± i   λ  

Se   λ = μ 2 . Aplicando na fórmula geral, teremos:

y = k 1 e i μ x + k 2 e - i μ x

Aplicando nas condições de contorno:

y 0 = 0

k 1 + k 2 = 0

y π = 0

Então:

k 1 e i μ π + k 2 e - i μ π = 0

Se a solução não é trivial, existe apenas:

e i μ π + e - i μ π = 0

Passo 2

(b) Usando a relação de Euler, podemos dizer que:

e i μ π + e - i μ π = cos ⁡ μ π + isen ⁡ μ π - cos ⁡ μ π + i sen ⁡ μ π  

= 2 i sen ⁡ μ π

P a r t e   r e a l   = 0

P a r t e   i m a g i n á r i a = 2 i sen ⁡ μ π  

Passo 3

(c) Agora, usaremos a relação proposta pelo exercício que diz que:

μ   =   ν   +   i σ

Quando:

e i μ π + e - i μ π = 0

E também:

cos ⁡ μ π + isen ⁡ μ π - cos ⁡ μ π + i sen ⁡ μ π   = 0

Ou:

2 i sen ⁡ μ π = 0

Podemos escrever:

2 i sen ⁡ ν   +   i σ π = 0

A função seno zera se:

ν   +   i σ π = n π

Se:

ν   +   i σ = n

Resposta

e i μ π + e - i μ π = 0

2 i sen ⁡ μ π = 0

ν   +   i σ = n

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