Enunciado

Em cada um dos problemas de 16 a 21, resolva a equação diferencial dada por uma série de potências em x e verifique se a 0 é arbitrário em cada caso.

y ' - x y = 0

Passo 1

O exercício pede para que escrevamos na forma de:

y = ∑ n = 0 ∞ a n x n

A derivada pode ser dada por:

y ' = ∑ n = 0 ∞ n a n x n - 1

Aplicando na EDO, teremos :

y ' - x y = 0

∑ n = 0 ∞ n a n x n - 1 - ∑ n x = 0 ∞ a n x n + 1 = 0

Reorganizando na forma de índice os termos em x não ao poder de n + 1 :

∑ n = - 1 ∞ ( n + 2 ) a n + 2 x n + 1 - ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 = 0

a 1 + ∑ n = - 1 ∞ ( n + 2 ) a n + 2 x n + 1 - ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 =

a 1 + ( n + 2 a n + 2 - a n ) ∑ n = - 1 ∞ x n + 1 = 0

Por comparação:

a 1 = 0 n + 2 a n + 2 - a n = 0

n + 2 a n + 2 = a n

a n + 2 = a n n + 2

Passo 2

Agora, vamos fazer pequenas alterações de n na fórmula encontrada:

a n + 2 = a n n + 2

Quando n = 0 :

a 0 + 2 = a 0 2

a 2 = a 0 2

Para n = 1 :

a 1 + 2 = a 1 1 + 2

a 3 = a 1 3 = 0

Para n = 2 :

a 2 + 2 = a 2 2 + 2

a 4 = a 2 4 = a 0 8

Para n = 3 :

a 5 = a 3 5 = 0

Para n = 4 :

a 6 = a 4 6 = a 0 48

Podemos escrever como:

y = a 0 1 + x 2 2 + x 4 8 + x 6 48 + …

Reescrevendo como:

y = a 0 1 + x 2 2 + x 4 2 2 * 2 ! + x 6 2 3 * 3 ! + x 2 n 2 n * n ! + … ,   p a r a   n = 0,1 , 2 …

Resposta

y = a 0 1 + x 2 2 + x 4 2 2 * 2 ! + x 6 2 3 * 3 ! + x 2 n 2 n * n ! + … ,   p a r a   n = 0,1 , 2 …

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