Enunciado

Neste exercício você deverá admitir como conhecidas apenas as propriedades A 1 a ( A 4 ) , ( M 1 ) a M 4 , D , O 1 a O 4 , O A e O M . Supondo x , y reais quaisquer, prove:

(Regra dos sinais)

- x y = - x y ; x - y = - x y ; - x - y = x y

Passo 1

Temos, pela propriedade da existência do oposto A 4 que:

x + - x = 0

Multiplicando os dois lados por y obtemos:

x + - x ∙ y = 0 ∙ y

Usando a propriedade distributiva D temos:

x + - x ∙ y = 0 ∙ y → x y + - x y = 0

Agora vamos somar a ambos os membros o oposto de x y , usando a propriedade A 4 obtemos:

x y + - x y = 0 → x y + - x y + - x y = 0 + - x y → - x y = - x y

Assim, provamos que - x y = - x y .

Passo 2

Da mesma forma do passo anterior prova-se que x - y = - x y .

Temos, pela propriedade da existência do oposto A 4 que:

y + - y = 0

Multiplicando os dois lados por x obtemos:

y + - y . x = 0 . x

Usando a propriedade distributiva D temos:

y + - y ∙ x = 0 ∙ x → x y + x - y = 0

Agora vamos somar a ambos os membros o oposto de x y , usando a propriedade A 4 obtemos:

x y + x - y = 0 → x y + x - y + - x y = 0 + - x y → x - y = - x y

Assim, provamos que x - y = - x y .

Passo 3

Vamos agora à prova de que - x - y = x y .

Temos que x + - x y + - y = 0 .

Pela propriedade distributiva D temos que:

x y + x - y + - x y + - x - y = 0

Temos que:

x - y = - x y e - x y = - x y

E lembrando que x y + - x y = 0 resulta em - x y + - x - y = 0 .

Somando x y aos dois membros, obtemos:

- x y + - x - y + x y = 0 + x y → - x - y = x y

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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