Enunciado

22 – Neste problema, vamos ilustrar como um sistema 2 × 2 com autovalores λ   ±   i μ pode ser transformado no sistema (11). Considere o sistema no Problema 12:

x ' = 2 - 2,5 1,8 - 1 x = A x

  1. Mostre que os autovalores desse sistema são   r 1 = 0,5 + 1,5 i e r 2 = 1,5 – 1,5 i .
  2. Mostre que o autovetor associado a r 1 pode ser escolhido como
  3. ξ 1 = 5 3 - 3 i = 5 3 + i 0 - 3

  4. Seja P a matriz cujas colunas são formadas pela parte real e pela parte imaginária de ξ 1 .
  5. Então

    P = 5 0 3 - 3

    Seja x = P y e substitua x na Eq.(i). Mostre que

    y ' = P - 1 A P y

  6. Encontre P - 1 e mostre que

P - 1 A P = 0,5 1,5 - 1,5 0,5

Logo, a Eq. (v) tem a forma da Eq. (11).

Passo 1

a)O objetivo é mostrar que os autovalores desse sistema são   r 1 = 0,5 + 1,5 i e r 2 = 1,5 – 1,5 i .

Os autovalores  r e autovetores  x satisfazem a equação:

A - r I = 0

2 - 2,5 1,8 - 1 - r 1 0 0 1 = 0

2 - r - 2,5 1,8 - 1 - r = 0

2 - r - 1 - r - 1,8 - 2,5 = 0

2 - r 1 + r - 4,5 = 0

2 - r + 2 r - r 2 - 4,5 = 0

r 2 - r + 2,5 = 0

r = 1 ± 1 - 10 2

r = 1 ± 3 i 2

r = 0,5 ± 1,5 i

Portanto, os autovalores deste sistema são    r 1 = 0,5 + 1,5 i e r 2 = 0,5 - 1,5 i .

Passo 2

b)

O objetivo é mostrar que o autovetor correspondente a  r 1 pode ser escolhido como:

ξ 1 = 5 3 - 3 i = 5 3 + i 0 - 3

Para r 1 = 0,5 + 1,5 i .

A - r 1 I ξ 1 = 0

2 - 2,5 1,8 - 1 - 0,5 + 1,5 i 1 0 0 1 ξ 1 = 0 0

1,5 - 1,5 i - 2,5 1,8 - 1,5 - 1,5 i ξ 1 = 0 0

1,5 - 1,5 i - 2,5 1,8 - 1 , 5 - 1,5 i x 1 x 2 = 0 0

1,5 - 1,5 i x 1 = 2,5 x 2  

x 2 = 3 5 - 3 5 i x 1

Passo 3

O autovetor  ξ 1   correspondente ao valor próprio  r 1 = 0,5 + 1,5 i :

x 1 x 2 = x 1 3 5 - 3 5 i x 1

= 1 1 5 - 3 5 i x 1

= 5 3 - 3 i x 1

Assim, o autovetor correspondente a r 1 é ξ 1 = 5 3 - 3 i = 5 3 + i 0 - 3

Passo 4

c)

O autovetor  ξ 1   correspondente ao valor próprio  r 1 = 0,5 + 1,5 i :

ξ 1 = 5 3 - 3 i = 5 3 + i 0 - 3

Então, 5 3 e 0 - 3 são as partes reais e imaginaria do autovetor, respectivamente.

Assim, a matriz de P é = 5 0 3 - 3 .

Passo 5

Temos que x = P y esusbtitua por x em x ' = A x .

Para mostrar que y ' = P - 1 A P y :

x ' = A x

P y ' = A ( P y )

P y ' = A P y

P - 1 P y ' = P 1 A P y

I y ' = P - 1 A P y

y ' = P - 1 A P y

Portanto, a relação necessária é y ' = P - 1 A P y .

Passo 6

d)

O objetivo é encontrar inverso de  P

Aqui, a matriz  P é escrita como:

P =   5 0 3 - 3

P - 1 = 1 5 - 3 - 3 ( 0 )   - 3 0 - 3 5

= 1 - 15 - 3 0 - 3 5

- 3 - 15 0 - 3 - 15 5 - 15

= 1 5 0 1 5 - 1 5

Passo 7

O objetivo é mostrar que  P - 1 A P = 0,5 1,5 - 1,5 05

Temos que:

P = 5 0 3 - 3

P - 1 = 1 5 0 1 5 - 1 5

A = 2 - 2,5 1,8 - 1

Assim,

P - 1 A P = 1 5 0 1 5 - 1 5 2 - 2,5 1,8 - 1 5 0 3 - 3

= 2 5 - 0,5 - 1 5 - 1 6 5 0 3 - 3

= 2 - 1,5 1,5 - 1 - 0,5 0,5

= 0,5 1,5 - 1,5 0,5

Portanto, o produto é  P - 1 A P = 0,5 1,5 - 1,5 0,5 . Assim, tem a forma de x ' = λ μ - μ λ

Resposta

Veja a resolução

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11 - d x d t = - 1 0 0 - 1 x