14 – d x d t = - 2 1 1 - 2 x + - 2 1

Passo 1

Considere o sistema:

d x d t = - 2 1 1 - 2 x + - 2 1 … … .   ( 1 )

O objetivo é determinar o ponto crítico, classificar seu tipo e examinar a estabilidade, fazendo a transformação  x = x 0 + u

Passo 2

O ponto crítico x 0 é tal que d x d t x = x 0 = 0

- 2 1 1 - 2 x + - 2 1 = 0

- 2 1 1 - 2 x 0 = - - 2 1

- 2 1 1 - 2 - 1 - 2 1 1 - 2 x 0 = - - 2 1 1 - 2 - 1 - 2 1

I x 0 = - 2 1 1 - 2 - 1 2 - 1

x 0 = 1 3 - 2 - 1 - 1 - 2 2 - 1

x 0 y 0 = 1 3 - 3 + 0 0 + 0

= 1 3 - 3 0

= - 1 0

Portanto, o ponto crítico é x 0 , y 0 = ( - 1 , 0 ) .

Passo 3

Deixei  x = x 0 + u

Então  d x d t = d u d t desde que d x 0 d t = 0

Então a equação ( 1 ) se torna,

d u d t = - 2 1 1 - 2 - 1 0 + - 2 1 1 - 2 u + - 2 1

= 2 - 1 + - 2 1 1 - 2 u + - 2 1

= - - 2 1 + - 2 1 1 - 2 u + - 2 1

= - 2 1 1 - 2 u … … .   ( 2 )

Passo 4

Tenhamos u = ξ e r t .

Em seguida, obtenha o sistema algébrico levando isso consideração.

- 2 - r 1 1 - 2 - r ξ 1 ξ 2 = 0 0

Vamos agora encontrar os autovalores, que são as raízes da equação.

- 2 - r 1 1 - 2 - r = 0

r 2 + 4 r + 3 = 0

( r + 1 ) ( r + 3 ) = 0

r 1 = - 1

r 2 = - 3

Então os autovalores são r 1 = - 1 e r 2 = - 3 .

Como os valores próprios são reais e desiguais, com o mesmo sinal, o ponto crítico é um nó. 

Nossos autovalores são negativos, assim, vemos que o ponto crítico é um nó assintoticamente estável.

Resposta

O ponto crítico é x 0 , y 0 = ( - 1 , 0 ) . Como os valores próprios são reais e desiguais, com o mesmo sinal, o ponto crítico é um nó. 

Nossos autovalores são negativos, assim, vemos que o ponto crítico é um nó assintoticamente estável.

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