Enunciado

Neste problema, vamos mostrar como pequenas mudanças nos coeficientes de um sistema de equações lineares podem afetar um ponto crítico que é um centro. Considere a sistema

x ' = 0 1 - 1 0 x

Mostre que os autovalores são = - i de modo que 0,0 é um centro. Considere, agora o sistema

x ' = ϵ 1 - 1 ϵ x

onde ϵ   é   arbitrariamente pequeno. Mostre que os autovalores são ϵ ± i . Assim, independentemente do quaço pequeno for ϵ ≠ 0 , o centro torna-se um ponto espiral. Se ϵ < 0 , o ponto espiral é assintoticamente estável; se ϵ > 0 ,   o ponto espiral é intável.

Passo 1

A equação característica do coeficiente matricial é r 2 + 1 = 0 ,   com raízes complexas r 1,2 = ± i   .  

Logo, o ponto crítico na origem é o centro. A equação característica da matriz perturbada é r 2 - 2 ϵ r + 1 +   ϵ 2 = 0 ,   com raízes complexas r 1,2 = ϵ ± i

Passo 2

Quando ϵ ≠ 0 ,   o ponto crítico do sistema é um pinto espiral. A sua estabilidade depende do sinal de ϵ .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Esboce as retas de crescimento nulo e descreva como os pontos críticos se movem quando α aumenta.
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Seja α = 2. Classifique cada ponto crítico investigando o sistema linear correspondente. Desenhe um retrato de fase em um retângulo contendo os pontos críticos..
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