Enunciado

Um objeto de massa m é arrastado ao longo de um plano horizontal por uma força agindo ao longo de uma corda atada ao objeto. Se a corda faz um ângulo θ com o plano, então a intensidade da força é

F = μ m g μ sen ⁡ θ + cos ⁡ θ

Onde μ é uma constante chamada coeficiente de atrito.

(a) Encontre a taxa de variação de F em relação a θ .

(b) Quando essa taxa de variação é igual a 0 ?

(c) Se m = 20   k g , t = 9,8   m / s 2 e μ = 0,6 , faça o gráfico de F como uma função de θ e use-o para localizar o valor θ para o qual d F / d θ = 0 . Esse valor é consistente com a resposta dada na parte (b)?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

Parece física, mas é cálculo, não se assusta! O problema nos diz que um objeto de massa m é arrastado ao longo de um plano horizontal por uma força.

Se a corda faz um ângulo θ com o plano, então a intensidade da força é:

F = μ m g μ sen ⁡ θ + cos ⁡ θ

Onde μ é uma constante chamada coeficiente de atrito.

A primeira coisa que o problema quer que a gente faça é achar a taxa de variação F em relação a θ . Quando a gente ouve taxa de variação, significa que deveremos derivar. Nesse caso aqui, a gente tem que derivar F em relação a θ , usando a regra do quociente, beleza?! Pois temos um quociente de funções a serem derivadas.

Pela regra do quociente temos que:

f x = g x h x

f ' x = g ' x h x - h ' x g x h x 2

Depois, vamos descobrir quando essa taxa de variação é igual a zero, fazendo F ' θ = 0 e encontrando o valor de t .

Por fim, vamos fazer m = 20   k g , t = 9,8   m / s 2 e μ = 0,6 , na nossa função, esboçar o gráfico de F como uma função de θ e usá-lo para localizar o valor θ para o qual d F / d θ = 0 , verificando se valor é consistente com a resposta dada na parte (b).

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando a nossa função, usando a regra do quociente:

F ' θ = d d x μ m g μ sen ⁡ θ + cos ⁡ θ

Primeiro vamos jogar pra fora tudo que for constante, pois podemos retirar as constantes da derivação, pra facilitar nossa vida:

F ' θ = μ m g   d d x 1 μ sen ⁡ θ + cos ⁡ θ

Então, aplicando a regra do quociente, nossa função vai ficar:

F ' θ = μ m g   1 ' μ sen ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1 μ sen ⁡ θ + cos ⁡ θ ' μ sen ⁡ θ + cos ⁡ θ 2

Realizando as derivadas do d sin ⁡ θ d θ = cos ⁡ θ e do d cos ⁡ θ d θ = - sin ⁡ θ :

F ' θ = μ m g   0 μ sen ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1 μ cos ⁡ θ - sen ⁡ θ μ sen ⁡ θ + cos ⁡ θ 2

Simplificando:

F ' θ = μ m g   - μ cos ⁡ θ + sen ⁡ θ μ sen ⁡ θ + cos ⁡ θ 2

Passo 3

Na letra (b) a gente quer saber quando essa taxa é igual a 0 , então vamos fazer F ' θ = 0 :

  μ m g   - μ cos ⁡ θ + sen ⁡ θ μ sen ⁡ θ + cos ⁡ θ 2 = 0

μ m g   são constantes definidas, então elas são diferentes de zero e o denominador tem que ser diferente de zero também, concorda?!

O que sobra pra a gente, então, é:

- μ cos ⁡ θ + sen ⁡ θ = 0

Com isso podemos fazer:

sen ⁡ θ = μ cos ⁡ θ

Isolando μ :

sen ⁡ θ cos ⁡ θ = μ

E usando a identidade trigonométrica tg ⁡ θ = sen ⁡ θ cos ⁡ θ vamos ter:

tg ⁡ θ = μ

Logo, essa taxa só será nula quando tg ⁡ θ = μ .

Passo 4

Por fim, a gente tem a letra (c), que dá os seguintes dados pra a gente:

m = 20   k g , t = 9,8   m / s 2 e μ = 0,6

E pede o gráfico de F como uma função de θ e a localização de d F / d θ = 0 , para confirmar a resposta da letra (b)!

Então vamos lá!! Substituindo os dados em:

F = μ m g μ sen ⁡ θ + cos ⁡ θ

Temos:

F = 117,6 0,6 sen ⁡ θ + cos ⁡ θ

Portanto, temos o gráfico:

E esse valor é consistente com a resposta dada na parte (b) pois:

tg ⁡ 0,54 ≈ 0,6 = μ

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

(a) F ' θ = μ m g   - μ cos ⁡ θ + sen ⁡ θ μ sen ⁡ θ + cos ⁡ θ 2 .

(b) Essa taxa só será nula quando tg ⁡ θ = μ .

(c) Esse valor é consistente com a resposta dada na parte (b) pois:

tg ⁡ 0,54 ≈ 0,6 = μ

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