Enunciado

Suponha que todas as funções sejam duas vezes deriváveis e que as segundas derivadas nunca sejam nulas.

Suponha que f e g sejam ambas côncavas para cima em - ∞ , ∞ . Sob que condições em f a função compost h x = f ( g x ) será côncava para cima?

Passo 1

Como f e g são côncavas para cima em - ∞ , ∞ , f ' ' > 0 e g ' ' > 0 .

Vamos achar h ' ' ( x ) :

h ' x = f ' g x g ' ( x )

h ' ' x = f ' g x g ' x ' = f ' ' g x g ' x g ' x + f ' g x g ' ' x = f ' ' g x g ' x 2 + f ' g x g ' ' x > 0 se     f ' > 0

Assim, h é côncavo para cima se f é crescente.

Resposta

h é côncavo para cima se f é crescente.

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