Enunciado

Um objeto de massa m está se movendo horizontalmente por um meio que resiste ao movimento com uma força que é uma função da velocidade; isto é,

m d 2 s d t 2 = m d v d t = f v

onde v = v t e s = s t representam a velocidade e a posição do objeto no instante t , respectivamente. Por exemplo, pense em um barco se movendo pela água.

(a) Suponha que a força de resistência seja proporcional à velocidade, isto é, f v = - k v ,   k é uma constante positiva. (Esse modelo é apropriado para os valores pequenos de v .) Sejam v 0 = v 0 e s 0 = s 0 os valores iniciais de v e s . Determine v e s em um instante qualquer t . Qual é a distância total que o objeto percorre a partir do instante t = 0 ?

(b) Suponha que a força de resistência seja proporcional ao quadrado da velocidade, isto é, f v = - k v 2 , k > 0 . (Este modelo foi proposto pela primeira vez por Newton.) Sejam v 0 e s 0 os valores iniciais de v e s .   Determine v e s em um instante qualquer t . Qual é a distância total que o objeto percorre nesse caso?

Passo 1

E aí, galera? Nessa questão, vamos ter que determinar v t e s t para duas situações físicas, mas fica tranquilo se você não manja de física, porque o enunciado já nos deu as equações diferenciais, só precisamos resolvê-las, ok?

(a) Primeiro, vamos nos concentrar na equação diferencial envolvendo d v d t   ,   beleza?

Aqui, f v = - k v , então a nossa equação diferencial fica assim:

m d v d t = - k v

Ela é do tipo separável, então bora colocar tudo o que é de v de um lado, e o que é de t do outro, e integrar cada lado, show? Lembre-se que m e v são apenas constantes que o enunciado nos deu.

1 v   d v = - k m   d t

∫ 1 v   d v = ∫ - k m   d t + C

ln ⁡ v = - k t m + C

v = e - k t m + C

v = C e - k t m

Nos foi dado que v 0 = v 0 , então vamos usar isso pra descobrir a constante C :

v 0 = C e - k m   . 0

C = v 0

Então chegamos a:

v t = v 0   e - k t m

Passo 2

Show! Agora temos que achar a distância total que o objeto percorre a partir do instante t = 0 , mas pra isso, precisamos encontrar s ( t ) , então note isso:

m d 2 s d t 2 = m d v d t

d d t d s d t = d v d t ⇒ d s d t = v

Mas já temos v ( t ) , então chegamos numa equação diferencial separável:

d s d t = v 0   e - k t m

Agora coloca s de uma lado, t do outro e integra:

1   d s = v 0   e - k t m   d t

∫ 1   d s = ∫ v 0   e - k t m   d t + C

Se você fizer a substituição   u = - k t m   ,     d u = - k m   d t   na segunda integral, vai chegar no seguinte resultado:

s = - m v 0 k   e - k t m + C

Pra descobrir a constante C , lembre-se que s 0 = s 0 ,   então vamo lá?

s 0 = - m v 0 k   e - k   .   0 m + C

s 0 = - m v 0 k   .   1 + C

C = m v 0 k + s 0

Chegamos então a:

s ( t ) = - m v 0 k   e - k t m + m v 0 k + s 0

Acontece que ele nos pediu a distância total que o objeto percorre a partir do instante t = 0 , e isso significa tomar o seguinte limite:

lim t → ∞ ⁡ Δ s = l i m t → ∞ s t - s 0 = l i m t → ∞ - m v 0 k   e - k t m + m v 0 k + s 0 - s 0 = l i m t → ∞ m v 0 k   1 - e - k t m = m v 0 k 1 - 0 = m v 0 k

Passo 3

(b) Show! Agora a gente vai basicamente repetir os mesmos passos do item (a).

Aqui, f v = - k v 2 , então nossa primeira equação diferencial fica:

m d v d t = - k v 2

Ela é separável, então bora resolver?

- 1 v 2   d v = k m   d t

∫ - 1 v 2   d v = ∫ k m   d t + C

1 v = k t m + C

v = m k t + C

Sabemos que v 0 = v 0 :

v 0 = m k   .   0 + C

C = m v 0

Então chegamos a:

v = m k t + m v 0

v t = m k   1 t + m k v 0

Passo 4

Show! No Passo 2, a gente viu que:

d s d t = v

Novamente, temos v t e podemos substituir pra obter mais uma equação diferencial:

d s d t = m k   1 t + m k v 0

Veja que ela também é do tipo separável:

1   d s = m k   1 t + m k v 0   d t

Agora é só integrar cada lado, né?

∫ 1   d s = ∫ m k   1 t + m k v 0   d t + C

A segunda integral parece grande e complicada né? Mas não se assusta não, pois ela é do tipo: ∫ a   1 x + b   d x =   a ln ⁡ | x + b | , ok?

Resolvendo então as integrais:

s = m k  ln ⁡ t + m k v 0 + C

O enunciado nos deu: s 0 = s 0 , então:

s 0 = m k   ln ⁡ 0 + m k v 0 + C

C = s 0 - m k   ln ⁡ m k v 0

Então chegamos a:

s = m k  ln ⁡ t + m k v 0 + s 0 - m k   ln ⁡ m k v 0

s t = m k   ln ⁡   t + m k v 0   m k v 0 + s 0

Agora, vamos calcular a distância percorrida:

lim t → ∞ ⁡ Δ s = l i m t → ∞ s t - s 0 = l i m t → ∞ m k   ln ⁡   t + m k v 0   m k v 0 + s 0 - s 0 = l i m t → ∞ m k   ln ⁡   t + m k v 0   m k v 0 → m k ln ⁡ ∞ → ∞

Resposta

(a) v t = v 0   e - k t m

          m v 0 k

(b) v t = m k   1 t + m k v 0

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