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De acordo com a Lei da Gravitação Universal de Newton, a força gravitacional em um objeto de massa m que tenha sido lançado verticalmente para cima da superfície da Terra é

F = m g R 2 x + R 2

onde x = x t é a distância do objeto acima da superfície no instante t ; R , o raio da Terra; e g , a aceleração da gravidade. Também, pela Segunda Lei de Newton, F = m a = m d v d t   , e dessa forma

m   d v d t = m g R 2 x + R 2

(a) Suponha que um foguete seja lançado verticalmente para cima com uma velocidade inicial v 0 . Seja h a altura máxima acima da superfície alcançada pelo objeto. Mostre que

v 0 = 2 g R h R + h

[Sugestão: Pela Regra da Cadeia, m   d v d t = m v   d v d x .]

(b) Calcule v e = lim h → ∞ ⁡ v 0 . Esse limite é chamado velocidade de escape da Terra.

(c) Use R = 6370   k m e g = 9,8   m / s 2 para calcular v e em quilômetros por segundo.

Passo 1

(a) E aí, galera? Nesse exercício vamos trabalhar com a situação física de um foguete sendo lançado, mas preocupa não porque a gente vai resolver isso junto.

Nesse item, a gente precisa mostrar que

v 0 = 2 g R h R + h

Mas pra isso, a solução ideal seria encontrar qual a expressão de v t , pra calcular v 0 = v ( 0 ) , não é mesmo? E parece que o enunciado nos deu a equação diferencial perfeita pra isso, olha:

m   d v d t = - m g R 2 x + R 2

Mas pera! R e g são constantes dadas pelo enunciado, mas x é uma variável que depende de t   ! Como a gente resolve isso?

Para nossa alegria, nos foi dada uma dica, vamos usar isso daqui:

m   d v d t = m v   d v d x

Então nossa equação fica assim:

m v   d v d x = - m g R 2 x + R 2

v   d v d x = - g R 2 x + R 2

Passo 2

Show! Agora que só temos duas variáveis na equação, já podemos resolvê-la. E olha só, ela é separável:

v   d v = - g R 2 x + R 2   d x

Então bora integrar!

∫ v   d v = ∫ g R 2   - 1 x + R 2   d x + C

v 2 2 = g R 2 1 x + R + C

Segundo o enunciado, a altura máxima é h . Se você lembrar lá da aula de Física, no ponto em que um objeto alcança sua altura máxima, a velocidade é nula. Então vamos substituir v = 0   e x = h na equação pra achar o valor da constante C , beleza?

0 2 2 = g R 2 h + R + C

C = - g R 2 R + h

Então nossa equação fica assim:

v 2 2 = g R 2 x + R - g R 2 R + h

v x = 2 g R 2 1 x + R - 1 R + h

Passo 3

Beleza! A gente chegou a uma expressão para v x , não para v t , como queríamos. Até poderíamos tentar jogar nosso resultado de volta na equação   m   d v d t = m v   d v d x , cair em mais uma equação diferencial e resolver para v t . Mas ainda bem que temos uma solução muito mais simples!

Sabemos que v 0 é a velocidade no instante inicial. Também sabemos que quando um objeto é lançado da superfície da Terra, sua altura inicial é nula. Então, quando t = 0 ,     x = 0 , e assim podemos calcular v 0 a partir da expressão encontrada para v x !

v 0 = v 0 = 2 g R 2 1 0 + R - 1 R + h

v 0 = 2 g R 2 R + h - R R R + h  

v 0 = 2 g R h R + h

Passo 4

(b) Show! Agora vamos calcular a velocidade de escape:

v e = lim h → ∞ ⁡ v 0 = l i m h → ∞ 2 g R h R + h = l i m h → ∞ 2 g R 1 R h + 1 = 2 g R 1 0 + 1 = 2 g R

Passo 5

(c) Agora é só usar a expressão obtida no item anterior pra calcular v e com os valores numéricos de   R = 6370   k m   e   g = 9,8 m s 2 . Como ele nos pediu que as unidades fossem quilômetros por segundo, vamos primeiro fazer uma conversão de unidades em g , beleza?

g = 9,8   m s 2 × 1 = 9,8   m s 2 × 1   k m 1000   m = 9,8 1000   m . k m s 2 . m = 0,0098   k m s 2

Agora sim!

v e = 2 g R = 2   .   0,0098   .   6370 ≈ 11,2   k m / s

Resposta

(b) v e = 2 g R

(c) v e ≈ 11,2   k m / s

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