Enunciado

Obtenha um campo de direção e o adicione aos gráficos das curvas integrais que passam pelos pontos dados.

y ' = 2 y - 4

  1. ( 0,1 )
  2. ( 0,4 )
  3. 0,5

Passo 1

Precisamos obter o campo de direções de uma EDO de primeira ordem e depois adicionar as soluções particulares a este campo. Portanto, precisamos realizar o seguinte procedimento:

  1. Obter a solução geral da EDO: o que possibilita obter o campo de direções e as soluções particulares;
  2. Obter cada uma das soluções particulares;
  3. Plotar tudo em um gráfico só através do auxílio de softwares.

Passo 2

Vamos começar por resolver a nossa EDO. Vamos utilizar o método de separação de variáveis (tudo que tem x fica em um membro, junto do d x , e tudo que tem y , junto de d y ). Isto é, se tivermos a seguinte função:

d y d x = f y g x ⟹ d y f y = d x g x

E depois, basta integrar os dois membros. Vamos fazer esta separação de acordo com a nossa função. Sendo assim,

y ' = d y d x = 2 y - 4

d y y - 4 = 2 d x

∫ d y y - 4 = ∫ 2 d x

ln ⁡ y - 4 = 2 x + k

y - 4 = e 2 x + k = e 2 x ⋅ e k

y = k 1 ⋅ e 2 x + 4

E esta é a solução geral da nossa EDO! F x = k 1 ⋅ e 2 x + 4 .

Passo 3

Vamos obter as nossas três soluções particulares agora. Se a função f ( x ) passa pelo ponto ( 0,1 ) , temos:

f 0 = F 0 = k 1 ⋅ e 0 + 4 = k 1 + 4 = 1

Logo, k 1 = - 3 e f x = - 3 e 2 x + 4 . Se g ( x ) passa pelo ponto 0,4 , temos:

g 0 = F 0 = k 1 + 4 = 4

Portanto, k 1 = 0 e g x = 4 . Já se h ( x ) passa pelo ponto 0,5 , temos:

h 0 = F 0 = k 1 + 4 = 5

Portanto, k 1 = 1 e h x = e 2 x + 4

Passo 4

Agora só nos resta esboçar o campo de direções relativa à EDO dada e plotar as três soluções particulares. Sendo assim, temos:

Resposta

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