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Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.

d y d x = ln ⁡ x x y ,   y 1 = 2

Passo 1

Temos que

d y d x = ln ⁡ x x y

Integrando:

∫ y d y = ∫ ln ⁡ x x d x

Isso implica que:

1 2 y 2 = 1 2 ( ln ⁡ x ) 2 + C

Passo 2

Agora precisamos aplicar a condição   y 1 = 2 , assim:

1 2 2 2 = 1 2 ln ⁡ 1 2 + C

Isso nos dá que:

C = 2

Então,

1 2 y 2 = 1 2 ( ln ⁡ x ) 2 + 2

Isso implica que:

y 2 = ( ln ⁡ x ) 2 + 4

E então,

y = ± ( ln ⁡ x ) 2 + 4

Desde que y 1 = 2 , nós temos que:

y = ( ln ⁡ x ) 2 + 4

Resposta

y = ( ln ⁡ x ) 2 + 4

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