Enunciado

Obtenha um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais e verticais e dê suas equações. Identifique (se houver) os pontos em que o gráfico cruza uma assíntota horizontal. Confira seu trabalho com um recurso gráfico.

x 2 x 2 - 4

Passo 1

Vamos lá, aqui como o numerador e o denominador não têm fatores comuns, vamos utilizar alguns passos para facilitar obter o gráfico da função:

Primeiro vamos ver se a função possui alguma simetria em relação ao eixo y , vamos substituir x por - x e vamos ver se a equação muda:

x 2 x 2 - 4 = - x 2 - x 2 - 4 = x 2 x 2 - 4

A equação não mudou, então temos uma simetria no eixo y .

Passo 2

Agora vamos encontrar os cortes com os eixos coordenados fazendo y = 0 e x = 0 :

y = x 2 x 2 - 4 → 0 = x 2 x 2 - 4 → x = 0

y = x 2 x 2 - 4 = 0 2 0 2 - 4 = 0

Pronto, agora sabemos onde a função corta o eixo x e o eixo y .

Passo 3

Próximo passo é encontrar os valores de x com os quais o denominador é igual a zero, nesses lugares o gráfico tem uma assíntota vertical, ou seja, vai aumentando, sempre se aproximando desse valor, mas nunca toca nesse ponto:

x 2 - 4 = 0 → x 2 = 4 → x = ± 2

Temos então uma assíntota vertical em x = ± 2 .

Passo 4

Próximo passo é analisar o sinal de f x , vamos analisar os lugares em que f x pode trocar de sinal, vamos ver os pontos de corte com o eixo x e nas assíntotas verticais achando intervalos e analisando se f x é positivo ou negativo nesses intervalos:

Temos então que no intervalo - 2,2 a função é negativa, e no intervalo - ∞ , - 2 e 2 , + ∞ é positiva.

Passo 5

Agora vamos determinar o comportamento no infinito do gráfico calculando os limites de f x quando x → + ∞ e quando x → - ∞ , e se algum desses limites tiverem um valor finito L , então a reta y = L é uma assíntota horizontal:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 x 2 - 4 = lim x → + ∞ ⁡ x 2 x 2 1 - 4 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ 1 1 - 4 x 2 = 1

lim x → - ∞ ⁡ x 2 x 2 - 4 = lim x → - ∞ ⁡ x 2 x 2 1 - 4 x 2 = lim x → - ∞ ⁡ 1 1 - 4 x 2 = 1

Pronto, temos então uma assíntota horizontal em y = 1 .

Passo 6

Vamos encontrar f ' x e f ' ' x :

f ' x = 2 x ⋅ x 2 - 4 - x 2 2 x - 0 x 2 - 4 2 = 2 x 3 - 8 x - 2 x 3 x 2 - 4 2 = - 8 x x 2 - 4 2

Fazendo f ' x = 0 vamos ver se possui algum ponto crítico, onde a derivada é zero, ou onde ela não existe:

- 8 x x 2 - 4 2 = 0 → - 8 x = 0 → x = 0

Agora vamos usar o Teste da Derivada Primeira:

Se f ' x > 0 em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 e f ' x < 0 em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0 , então f tem um máximo relativo em x 0 .

Se f ' x < 0 em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 e f ' x > 0 em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0 , então f tem um mínimo relativo em x 0 .

E se f ' x tiver o mesmo sinal tanto em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 quanto em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0 , então f não tem extremo relativo em x 0 .

Vamos então analisar as derivadas no intervalo - 0,1 ; 0,1 que contém 0 :

f ' - 0,1 = - 8 ⋅ - 0,1 - 0,1 2 - 4 2 = 0,05

f ' 0,1 = - 8 ⋅ 0,1 0,1 2 - 4 2 = - 0,05

Pronto, temos então que f ' - 0,1 > 0 e f ' 0,1 < 0 , então f tem um máximo relativo em 0 .

Passo 7

E por último vamos calcular f ' ' x :

f ' ' x = - 8 x 2 - 4 2 - - 8 x ⋅ 2 ⋅ x 2 - 4 2 x - 0 x 2 - 4 4 =

= - 8 x 2 - 4 + 16 x ⋅ 2 x x 2 - 4 3 = - 8 x 2 + 32 + 32 x 2 x 2 - 4 3 = 24 x 2 + 32 x 2 - 4 3

Vamos então achar se possui algum ponto de inflexão e analisar os sinais:

24 x 2 + 32 x 2 - 4 3 = 0 → 24 x 2 + 32 = 0 → 24 x 2 = - 32

Aqui não possui valores onde é igual a zero, pois um valor real ao quadrado não pode dar um valor negativo.

Passo 8

Pronto, agora com todas essas informações fica mais simples de esboçar o gráfico, vamos lá:

Resposta

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →