Enunciado

Obtenha gráficos de f que revelem todos os aspectos importantes da curva. Em particular, você deve usar os gráficos de f ' e f ' ' para estimar os intervalos de crescimento e decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão.

f x = e x x 2 - 9

Passo 1

O enunciado pede pra gente usar os gráficos de f ' e f ' ' , então a gente encontra a função pra poder montar os gráficos:

f ' x = e x x 2 - 2 x - 9 x 2 - 9 2

f ' ' x = e x x 4 - 4 x 3 - 12 x 2 + 36 x + 99 x 2 - 9 3

Passo 2

Lembra da análise que a gente fazia no capítulo anterior? Então! Vamos fazer pra ver se existem assíntotas na nossa função, que aí fica mais fácil pra limitar nossa janela de visualização do gráfico!

Procurando assíntotas horizontais:

lim x → ∞ ⁡ e x x 2 - 9 = ∞

Sendo assim, elas não existem.

Há assíntotas verticais em x = ± 3 , porque

lim x → 3 + ⁡ e x x 2 - 9 = ∞ ,   lim x → 3 - ⁡ e x x 2 - 9 = - ∞

É difícil mostrar todas as características pertinentes em um retângulo de visualização, então mostraremos f , f ' e f ' ' para x < 3 e também para x > 3 .

Para x < 3

Para x > 3

Passo 3

Nós estimamos pelos gráficos de f ' e f que f está crescendo em ( - ∞ , - 3 ) , ( - 3 ,   - 2.16 ) , e ( 4.16 ,   ∞ ) e decrescendo em ( - 2.16 ,   3 ) e ( 3 ,   4.16 ) . Há um máximo local de valor f - 2.16 ≈ - 0.03 e um mínimo local de valor f ( 4.16 ) ≈ 7.71 . Pelos gráficos de f ' ' , nós vemos que f é côncava para cima em ( - ∞ ,   - 3 ) e ( 3 ,   ∞ ) , e côncava para baixo em ( - 3,3 ) . Não há pontos de inflexão, porque não tem nenhum local em que a função troca o sinal da derivada, essa troca está sempre separada por assíntotas.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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