Enunciado

(a)Se f t = 6 1 + t 2   , encontre f ´ ( t ) .

(b) Verifique se sua resposta em (a) foi razoável e comparando os gráficos de f e f ´

Passo 1

E aí, meus amores, tudo certinho?

Aqui a gente quer calcular a derivada da função:

f t = 6 1 + t 2

E depois usar o seu gráfico da sua derivada pra ver se a resposta que calculamos faz sentido.

Bem, primeira coisa é derivar então ne. E pra isso, vamos usar a fórmula da definição da derivada:

f ´ t = lim h → 0 ⁡ f t + h - f ( t ) h

Então olha bem nessa fórmula o que temos e o que não temos. Só não temos f t + h ne, então ele é a primeira coisa que vamos calcular.

Passo 2

Temos:

f t = 6 1 + t 2

Pra calcular f t + h , precisamos substituir t + h em todos os lugares em que h aparece na função. E fica assim:

f t + h = 6 1 + ( t + h ) 2

Agora, esse termo ao quadrado ali no denominador, como você acha que a gente pode abrir ele? Ele é o quadrado de uma soma ne? Então vamos lembrar daquele produto notável

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2

No nosso termo fica

t + h 2 = t 2 + 2 t h + h 2

Uhuull! Substituindo aqui:

f t + h = 6 1 + ( t + h ) 2 = 6 1 + t 2 + 2 t h + h 2

E agora sim, vamos substituir no limite:

f ´ t = l i m h → 0 6 1 + t 2 + 2 t h + h 2 - 6 1 + t 2 h

Ufa! Vamos pro passo 3 calcular esse limite!

Passo 3

f ´ t = l i m h → 0 6 1 + t 2 + 2 t h + h 2 - 6 1 + t 2 h

Igualando os denominadores das frações do numerador:

f ' t = lim h → 0 ⁡ 6 ( 1 + t 2 ) - 6 ( 1 + t 2 + 2 t h + h 2 ) ( 1 + t 2 ) 1 + t 2 + 2 t h + h 2 h

Arrumando o denominador:

f ´ t = l i m h → 0 6 ( 1 + t 2 ) - 6 ( 1 + t 2 + 2 t h + h 2 ) h ( 1 + t 2 ) 1 + t 2 + 2 t h + h 2

Fazendo a distributiva no numerador:

f ´ t = l i m h → 0 6 + 6 t 2 - 6 - 6 t 2 - 12 t h - 6 h 2 h ( 1 + t 2 ) 1 + t 2 + 2 t h + h 2

Agora vamos cortar os termos iguais:

f ' ( t ) = l i m h → 0 - 12 t h - 6 h 2 h ( 1 + t 2 ) 1 + t 2 + 2 t h + h 2

Fatorando o numerador:

f ' ( t ) = l i m h → 0 - 6 h ( 2 t - h ) h ( 1 + t 2 ) 1 + t 2 + 2 t h + h 2

Cortando h do numerador com o denominador:

f ' ( t ) = l i m h → 0 - 6 ( 2 t - h ) ( 1 + t 2 ) 1 + t 2 + 2 t h + h 2

Agora finalmente, vamos calcular o limite:

f ' ( t ) = - 12 t ( 1 + t 2 ) 1 + t 2

Uhuuullll, achamos a derivada da nossa função!

Passo 4

Nesse passo, faremos a análise gráfica de f ( t ) e f ´ ( t ) .

Como são funções mais complexas, vamos usar um software pra encontrar seus gráficos.

Gráfico de f ( t ) :

Gráfico de f ´ ( x )

Repara só essas 3 características nos nossos gráficos:

  • Quando a função é crescente, sua derivada é positiva ( t < 0 )
  • Quando a função é decrescente, a derivada é negativa ( t > 0 )
  • Quando a função atinge um máximo ( t = 0 ) , ela tem tangente horizontal e a derivada é nula

É exatamente esse o comportamento que esperamos encontrar! Aliais, leva esses 3 tópicos que eu listei agora com você pra sua vida ;D

Resposta

f ' ( t ) = - 12 t ( 1 + t 2 ) 1 + t 2

Os gráficos confirmam esse resultado!

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