Enunciado

∭_E (z)/(x^2 + z^2) d V , onde E = { ( x , y , z ) | 1 <= y <= 4 , y <= z <= 4 , 0 <= x <= z }

Passo 1

Falaaaaaaiiii, vamo lá resolver essa questão?! Simbora!

Cara, primeiro vamos colocar os limites de integração nessa integral. A gente pega eles do enunciado que diz

E = { ( x , y , z ) | 1 <= y <= 4 , y <= z <= 4 , 0 <= x <= z }

Vai ficar dessa forma:

int_1^4 int_y^4 int_0^z (z)/(x^2 + z^2) d x d z d y

Pra integrar em relação a x , vamos ter que utilizar substituição trigonométrica. Mas já vou adiantar aqui o resultado. Olha só:

int ((d x)/(a^2 + x^2)) = (1)/(a) arctan (x)/(a) + C

Esse a representa uma constante, que no caso vai ser nosso z , pois estamos integrando em relação a x então z é constante.

Daí,

int_1^4 int_y^4 int_0^z (z)/(x^2 + z^2) d x d z d y = int_1^4 int_y^4 z ((1)/(z) arctan (x)/(z))_0^z d z d y = int_1^4 int_y^4 (pi)/(4) d z d y

Passo 2

Vamos agora integrar em relação a z , daí:

int_1^4 int_y^4 (pi)/(4) d z d y = int_1^4 (pi)/(4) (z)_y^4 d y = (pi)/(4) int_1^4 4 - y d y

Passo 3

Por fim, felizmente hehehe, integrando em relação a y , vamos ter:

(pi)/(4) [4 y - (y^2)/(2)]_1^4 = (pi)/(4) (8 - (7)/(2)) = (9 pi)/(8)

Resposta

∭_E (z)/(x^2 + z^2) d V = (9 pi)/(8)

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